摘要：考慮移動(dòng)傳感器的移動(dòng)會(huì)大量消耗能量且比較昂貴，使用密度為O(k)的移動(dòng)傳感器來滿足網(wǎng)絡(luò)k-覆蓋的密度需求，并給出了網(wǎng)絡(luò)要達(dá)到k-覆蓋傳感器需移動(dòng)的最大距離的一個(gè)界O((log L)1／3)；建立了三維網(wǎng)絡(luò)傳感器移動(dòng)數(shù)學(xué)模型，將傳感器重新部署問題轉(zhuǎn)化為最大網(wǎng)絡(luò)流問題，用分布式重新部署算法仿真證明了其有效性。
關(guān)鍵詞：無線傳感器網(wǎng)絡(luò)；k-覆蓋；最大移動(dòng)距離；最大網(wǎng)絡(luò)流算法

0 引言
    無線移動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò)是由能量有限且具有感知、計(jì)算和通信能力的微型移動(dòng)傳感器節(jié)點(diǎn)通過自組織的方式構(gòu)成的無線網(wǎng)絡(luò)。它不需要固定網(wǎng)絡(luò)支持，具有快速展開，抗毀性強(qiáng)等特點(diǎn)，可廣泛應(yīng)用于軍事、工業(yè)、交通、環(huán)保等領(lǐng)域。然而，由于傳感器網(wǎng)絡(luò)通常工作在復(fù)雜的環(huán)境下，而且網(wǎng)絡(luò)中傳感器節(jié)點(diǎn)眾多，所以大都采用隨機(jī)部署方式。而這種方式很難一次性將數(shù)日眾多的傳感器節(jié)點(diǎn)放置在適合的位置，極容易造成傳感器網(wǎng)絡(luò)覆蓋的不合理。所以，在傳感器網(wǎng)絡(luò)部署初始，需要采用覆蓋控制策略的重新部署，以獲得理想的網(wǎng)絡(luò)覆蓋性能。其中滿足k-覆蓋是很多應(yīng)用中需要重點(diǎn)考慮的。
    通常認(rèn)為如果給定一個(gè)區(qū)域，若其中的任何一個(gè)點(diǎn)至少被k個(gè)傳感器覆蓋，則稱此傳感器網(wǎng)絡(luò)達(dá)到k-覆蓋。因?yàn)閭鞲衅魇且苿?dòng)的，所以它們可以調(diào)整自己的位置，以冗余度O(1)達(dá)到k-覆蓋。然而，由于移動(dòng)消耗大量的能量，為節(jié)省能量，如何確定傳感器的最大移動(dòng)距離呢?前人對(duì)此曾做過大量工作。Wu J等人最小化了每個(gè)傳感器的最大移動(dòng)距離，但只號(hào)慮了二維網(wǎng)絡(luò)。wang G等人通過級(jí)聯(lián)式短距離移動(dòng)雖然限制了每個(gè)傳感器，但也沒具體給出最大距離的一個(gè)界。因此，本文的研究目標(biāo)是在三維無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中，給出傳感器移動(dòng)的最大距離的一個(gè)界，在此前提下，用分布式重新部署算法實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)k-覆蓋，證實(shí)其有效性。

1 傳感器的密度和移動(dòng)距離
    假設(shè)移動(dòng)傳感器獨(dú)立均勻分布于體積為L的立方體區(qū)域中，傳感器的傳感半徑為r，k為網(wǎng)絡(luò)覆蓋因子。將體積為L的立方體分解成邊長為的小立方體。顯然，其中每個(gè)格點(diǎn)的密度為。當(dāng)傳感器移動(dòng)到每個(gè)格點(diǎn)上時(shí)，移動(dòng)傳感器的密度Λ為，每個(gè)傳感器的感應(yīng)球域?yàn)椋總€(gè)球域?qū)⒑袀€(gè)傳感器，所以區(qū)域中仟何一個(gè)點(diǎn)將至少被k個(gè)傳感器所覆蓋，即網(wǎng)絡(luò)達(dá)到k-覆蓋。當(dāng)傳感器隨機(jī)撒播在立方體區(qū)域中，傳感器移動(dòng)到每個(gè)格點(diǎn)的最大距離可以由以下定理得出。
    根據(jù)Ahuja RK給出的定理，將n個(gè)點(diǎn)均勻分布獨(dú)立撒播在一個(gè)單位立方體中，將單位立方體分解成n個(gè)小立方體，則點(diǎn)和格點(diǎn)之間以最大概率存在完全匹配，且匹配的最大距離為O((log，n／n)1／3)。
    因這里考慮的是體積為L的立方體，由上述定理可得網(wǎng)絡(luò)格點(diǎn)數(shù)目為 個(gè)。因此傳感器移動(dòng)的最大移動(dòng)距離約為 。由此可見，移動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò)相對(duì)靜態(tài)傳感器網(wǎng)絡(luò)能彌補(bǔ)節(jié)點(diǎn)分布的隨機(jī)性。在覆蓋過程中如果傳感器全部是移動(dòng)的，那么它可以通過移動(dòng)一小段距離達(dá)到k-覆蓋。相對(duì)靜態(tài)傳感器網(wǎng)絡(luò)，隨著出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的擴(kuò)大，傳感器的密度也會(huì)隨著增大的傾向，而移動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò)的傳感器密度卻仍能保持不變，只需隨著網(wǎng)絡(luò)的增大，移動(dòng)距離改變?yōu)镺((log L)1／3)即可。

2 移動(dòng)模型
    為了實(shí)現(xiàn)三維傳感器網(wǎng)絡(luò)k-覆蓋，提出傳感器移動(dòng)策略問題如下：假設(shè)每個(gè)小立方體i含有mi個(gè)移動(dòng)傳感器，每個(gè)立方體i將有vi=k個(gè)空缺。將傳感器移動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)流問題，其中小立方體中多余的移動(dòng)傳感器(網(wǎng)絡(luò)流)“流入”網(wǎng)絡(luò)圖中存在的空缺。
    構(gòu)造一個(gè)以每個(gè)小立方體為頂點(diǎn)的圖G(V，E)，當(dāng)小立方體i和小立方體j中心間距小于D=O((log L)1／3)時(shí)，就在頂點(diǎn)i和j之間連接一條邊。將從i到j(luò)移動(dòng)的傳感器數(shù)目記為xij，則移動(dòng)策略問題可以表示為：
   
    式中：cij表示移動(dòng)花費(fèi)，簡單情況下表示所移動(dòng)的距離。在這個(gè)優(yōu)化模型里，式(2)表示流守恒條件，即傳感器移出小立方體i的數(shù)目減去移進(jìn)小立方體i的數(shù)目要小于或等于小立方體i額外的傳感器數(shù)目，這保證了移動(dòng)后每個(gè)小立方體移動(dòng)傳感器大于小立方體的空缺，即達(dá)到所要求的k覆蓋。式(3)則表示移出小立方體i的移動(dòng)傳感器數(shù)目的總和要小于或等于它所擁有的移動(dòng)傳感器的數(shù)目。
    用同樣構(gòu)造圖的方法，模型同樣適應(yīng)于不規(guī)則形狀的網(wǎng)絡(luò)。

3 分布式算法
    由上文可知，傳感器移動(dòng)策略就是網(wǎng)絡(luò)最小花費(fèi)流問題，已對(duì)傳感器的最大移動(dòng)距離有了限制，所以，可以通過更簡單的最大流問題找到可行的移動(dòng)策略來填補(bǔ)每個(gè)小立方體的空缺，而不考慮最小花費(fèi)的問題。關(guān)于網(wǎng)絡(luò)最大流問題有許多有效的算法，本文采取pushrelahcl分布式算法。
    為保持網(wǎng)絡(luò)的連通性，假設(shè)傳感器的通信半徑大于傳感器半徑r的2倍。在算法執(zhí)行前，假設(shè)每個(gè)靜止或移動(dòng)傳感器知道它的位置和位于哪個(gè)小立方體里。隨機(jī)部署岳，考慮傳輸信息消牦能量的影響，每個(gè)單元周期性地選擇一個(gè)傳感器作為代表，收集算法執(zhí)行前需要的信息，信息形式如下：
   
    其中：ID代表傳感器的標(biāo)志；cube表明傳感器在哪個(gè)小立方體里；x，y，z表示傳感器位于哪個(gè)位置信息，代表元會(huì)負(fù)責(zé)與圖G中的鄰居互傳信息。因?yàn)殡S機(jī)部署會(huì)產(chǎn)生某些單元沒有任何傳感器，為保持網(wǎng)絡(luò)的連通性，在算法執(zhí)行前將距離最近的傳感器移動(dòng)到空單元。
    Push-relabel算法的基本思想是循環(huán)地選擇多余的流推進(jìn)到高度比它低的鄰居，若沒有則重新標(biāo)記高度，一直到所有的節(jié)點(diǎn)沒有多余的流。在算法中，把移動(dòng)傳感器從比k個(gè)傳感器多的小立方體中推向比k要小的小立方體中，并按如下方法來處理圖G(V，E)，將其轉(zhuǎn)換為有向圖：
    將每個(gè)節(jié)點(diǎn)j∈V分裂成兩個(gè)節(jié)點(diǎn)iin和iout，并增加一條單向邊(iin，iout)，其移動(dòng)花費(fèi)為0，且容量約束為mi；iout是每一輪中的源節(jié)點(diǎn)，其出邊與鄰居節(jié)點(diǎn)j以單向邊(iout，jin)相連，移動(dòng)花費(fèi)為cij，容量約束為無窮大，如圖1所示。

    移動(dòng)算法步驟如下：
    (1)對(duì)每個(gè)小立方體i進(jìn)行分布式移動(dòng)算法；
    (2)收集每個(gè)小立方體的信息vi和mi；
    (3)令h(iin)=0，h(iout)=0：e(iin)=0，e(iout)=mi-vi，其中h和e分別表示節(jié)點(diǎn)的高度和節(jié)點(diǎn)中額外的傳感器；
   
    (5)根據(jù)弧(iout，jin)上的流將傳感器移動(dòng)到小立方體j。
    其中，push-relabel(v)算法步驟為：

    在算法中，節(jié)點(diǎn)只需要知道相距為D的鄰居節(jié)點(diǎn)信息(比如高度)，以此來執(zhí)行push-relabel算法。算法分為兩個(gè)步驟，在第一步中，節(jié)點(diǎn)將多余的流推入相鄰的鄰居節(jié)點(diǎn)，如果需要重標(biāo)記，則在第二步中，節(jié)點(diǎn)重新標(biāo)記自己，并通知相鄰的鄰居節(jié)點(diǎn)。在同一個(gè)小立方體i中iin和iout之間的推進(jìn)跟不同小立方體之間的推進(jìn)除了沒有信息傳送，其他都是一樣的。要注意的是推進(jìn)和重標(biāo)記過程只是發(fā)送信息，傳感器是沒有移動(dòng)的，只有在算法結(jié)束后，傳感器才根據(jù)弧上的流進(jìn)行移動(dòng)。
    因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)圖含有O(2L)個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)iout至多有O(D3)=O(logL)條出度弧，而每個(gè)iin只有一條出度弧(iin，iout)，因此圖至多有O(Llog L+L)條弧。根據(jù)Goldberg A給出的同步分布式push-relabel算法，時(shí)間復(fù)雜度為O(|V|2)(V為節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù))，至多有O(|V|2ε)(ε為弧的數(shù)量)的信息交換量，又因?yàn)閕in和iout之間沒有信息交換，所以算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(4L2)，信息交換量為O(L3log L)。

4 仿真與分析
    為了檢驗(yàn)理論的正確性，對(duì)移動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò)k-覆蓋仿真。將網(wǎng)絡(luò)劃分為邊長(r為傳感器半徑，k為覆蓋因子)的小立方體，將M=ΛL個(gè)移動(dòng)傳感器均勻于網(wǎng)絡(luò)中，其中Λ=O(k)。(具體的M值根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中立方體的空缺總額來選定，只要超過空缺總額即可)。仿真結(jié)果如圖2所示。

    圖2表示對(duì)固定的k值(k=3)，隨著移動(dòng)距離的變化，不同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)存在k覆蓋的概率(其中距離被dh規(guī)范化)。
    由圖2可知，網(wǎng)絡(luò)從8×8×8增長到20×20×20的小立方體時(shí)，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到k-覆蓋傳感器需移動(dòng)的最大距離都為3dh。這說明，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，傳感器移動(dòng)的最大距離增長微小。
    在傳感器網(wǎng)絡(luò)仿真中，其算法性能如圖3所示。

    圖3表示當(dāng)k=10，D=4時(shí)，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，push-relabled算法的性能。
    在上文中，分析了push-relabel算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(4L2)。但從實(shí)驗(yàn)結(jié)果(如圖3(a)所示)可以看出，算法的平均和最大時(shí)間復(fù)雜度與L呈線性關(guān)系，如當(dāng)網(wǎng)絡(luò)大小為8 000時(shí)，平均只需要1 000輪便可得到解。
從圖3(b)曲線來看，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)發(fā)送信息量的總和隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大呈O(L2+α)(0<α<1)增長，比上文分析的總的信息交換量O(L3log L)要好。由此可知，通過對(duì)算法的改進(jìn)，算法在實(shí)際運(yùn)行中總的性能比push-relabel算法要好一些。

5 結(jié)語
    本文在前人研究的基礎(chǔ)上給出了三維空間移動(dòng)傳感器最大移動(dòng)距離的一個(gè)界，并采用最大網(wǎng)絡(luò)流算法，實(shí)現(xiàn)了傳感器移動(dòng)策略，減少了每個(gè)傳感器因移動(dòng)消耗的能量，提高了網(wǎng)絡(luò)的覆蓋性能。但對(duì)于三維網(wǎng)絡(luò)達(dá)到k-覆蓋時(shí)傳感器的具體定位還有待于進(jìn)一步研究。