1 引言

從非線性動力學角度來說，開關變換器是一個強非線性時變動力學系統(tǒng)，因此存在著豐富的非線性現(xiàn)象，包括各種類型的次諧波、分叉與混沌等。由于混沌動態(tài)是一種不穩(wěn)定振動，混沌現(xiàn)象是一種不正常不可靠的現(xiàn)象，混沌的不確定性將導致系統(tǒng)的運行狀態(tài)無法預測，從而使變換器的控制性能受到極大的影響，甚至完全不能工作，所以研究開關變換器中混沌產生的方式、分析方法有助于我們在設計中避開這種不理想現(xiàn)象，使變換器工作于穩(wěn)定的周期，這對于正確設計和調試開關變換器具有重要的指導意義。

本文對混沌的國內外研究現(xiàn)狀作一綜述，并詳細介紹其分析方法。

2 混沌的基本概念

1963年，Lorenz從簡化的大氣模型中推導出著名的Lorenz方程，這組三階的微分方程呈現(xiàn)出一種奇異的現(xiàn)象，即混沌現(xiàn)象，從此揭開了混沌學發(fā)展的新篇章。Lorenz微分方程組如下：

(1)

在這個系統(tǒng)中，S ，R，B是可變參數，其中任意參數的改變都可能導致系統(tǒng)從周期態(tài)向混沌態(tài)的轉變[1]。

從Lorenz系統(tǒng)中研究可知，產生混沌的原因是耗散和非耗散相互作用的結果。耗散作用的整體穩(wěn)定性和非線性作用的局部不穩(wěn)定性作用便形成了混沌[2].而奇異吸引子是混沌的本質所在。這時候人們發(fā)現(xiàn)即使對于典型的可用確定論方法描述的系統(tǒng)來說，只要該系統(tǒng)稍微復雜一些，在一定條件下也會產生非周期的表面上看起來毫無規(guī)律的運動，改變了那種認為用確定論方法描述的運動都屬于規(guī)則運動的錯誤觀念。這種來自可用確定論方法描述的系統(tǒng)中的無規(guī)則運動，稱為混沌或內在隨機性。它表面上是隨機運動，實際上是有一定結構的形式，而真正的隨機行為出現(xiàn)在嘈雜系統(tǒng)中?；煦邕\動通常還具有確定性運動所沒有的特征，如局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定、無限自相似、對初值變化的高度敏感性、奇異吸引子中包含多個不穩(wěn)定周期軌道、連續(xù)的功率譜等[3]。首次證明開關變換器中存在混沌的是Brockett和Wood，他們在1984年發(fā)表的一篇會議論文中指出受控的Buck 變換器可產生混沌行為[4]。1988年，Hamill和Jefferies首先對開關變換器中的混沌現(xiàn)象進行了理論分析[5]。而文獻[6]指出由于開關變換器是強非線性離散系統(tǒng)，而非線性微分方程的解不是唯一的，當非線性系統(tǒng)的周期解處于臨界狀態(tài)時，它對微小的參數攝動或初始條件變化都極為敏感，就可能進入連續(xù)分頻狀態(tài)，最后出現(xiàn)混沌。

3 混沌的分析方法

Middlebrook等在1976年提出的狀態(tài)空間平均法[7]是目前使用最廣泛的方法。它將時變電路變成了非時變線性電路，從而可求穩(wěn)態(tài)工作點、小信號傳遞函數等。它是簡明性和準確性的一個較好的折中。但也存在著穩(wěn)定性分析不準確、不能分析紋波、無法分析準諧振變換器等缺點。另外，它在連續(xù)導電模式中忽略了開關變換器頻率的影響，由此而產生的線性模型中，占空比成為連續(xù)的時間變量，然而實際上占空比是定義成離散時間變量的，在一個開關周期內討論占空比的變化是毫無意義的[8].由于所得到的是一個線性模型，忽略了開關變換器的非線性特征，因此不可能對開關變換器中的次諧波、混沌等非線性現(xiàn)象作出正確的分析，這些不足使得離散時間模型[9]應運而生。它保留了變換器的非線性特性，是較為準確的一種方法，一般可以得到映射的隱式表達。它的主要特點是提出采樣序列的概念，而不是把開關描述成連續(xù)的，即每隔一定時間對變換器作一次采樣，通常是在波峰波谷處采樣更方便。開關周期內狀態(tài)的變化由一映射函數描述。這個函數可能會較復雜，但一旦得到，就可以用計算機來對它進行反復迭代，從而確定變換器的狀態(tài)是怎樣從一個周期演變到另一個周期的。

文獻[10]是基于離散時間模型的非線性迭代映射法。一般的，其狀態(tài)方程可以描述為

=f(x，t)，其中x是n維狀態(tài)矢量(常為電容電流或電感電壓)，每一個周期對X采樣(通常在波峰或波谷處)，即可得到一個離散系統(tǒng)。于是就得到一個{

}序列，時間就不出現(xiàn)在方程里了。

3.1 一維映射

對于一維映射 x——>F(x)， F是一個作用在一個實數上來產生另一個實數的函數。滿足方程x*=F(x*)且在映射下保持不變的點叫F的固定點。我們的興趣在于用這個函數將一個區(qū)域劃到它自己內部。例如x—>ax(1-x)， 其中a是一個參數，0≤a≤4，這個函數就是將區(qū)間[0，1]劃到它內部。若a=2，則方程變?yōu)?/p>

m=0，1，2

這是一個一階差分方程，x的當前值僅由前一個值決定。從任一個初值

開始反復迭代就可以得到一個序列{

}.任選一個不等零的初值，序列最終收斂于x*=0.5，這個點叫做吸引性固定點。反之對于固定點x*=0，若初值不等零，而序列會偏離初值，則這個點不具有吸引性。 由上可知，固定點對系統(tǒng)有著重要影響。 特別的，穩(wěn)定行為與吸引性固定點有關系。，那樣的點叫穩(wěn)定固定點。而不具有吸引性的固定點會導致混沌。

3.2 高維映射

迭代法對高維映射也適用。在n維情況下，令人關注的是n維矢量之間的關系。這時候，F(xiàn)作用在一個矢量上以產生另一個n維矢量。與一維映射同樣，我們的興趣在于把一個區(qū)域劃到它內部，不同的是這個區(qū)域是一個n維空間.下面給一個二維例子,

(2)

其中x=

, a、b均是參數。因為必須把函數畫在二維空間里,所以要看高維映射是較困難的,甚至n =2這種情況也不例外。同樣，對于高維映射，滿足

的矢量

即為固定點。如當 a=1.4、b=0.3時,方程(2)有兩個固定點,但都不具有吸引性,因而會導致混沌。 [!--empirenews.page--]

3.3 數值仿真法

數字仿真是指利用各種各樣的算法以求得變換器某些特性數字解的方法。它分為直接數字仿真法和間接數字仿真法兩種。數字仿真的優(yōu)點是準確度和精確度都高，可以得到響應的完整波形;適用范圍廣，可進行小信號分析和大信號分析。

由于混沌動力學系統(tǒng)的復雜性，很多混沌動力學系統(tǒng)不能用已知函數表示其通解，使得解析法很多時候無能為力，而且用解析法建模時，常常需要作出某些近似，以簡化分析。眾所周知，開關調壓系統(tǒng)存在著功率級電路的開關非線性和控制電路中脈沖調制器的飽和非線性，因此不能用精確方法設計電路，也難以用解析法對混沌類現(xiàn)象進行有效的預測，同時這類系統(tǒng)受到的擾動常常是大幅度的，這時系統(tǒng)在大信號擾動下工作，對于大信號分析，一般很難用解析法求解，更需要借助于數字仿真，從而這就使通過數值計算來描述混沌行為的演化過程對開關變換器的混沌進行數值模擬顯得十分重要[11]。

下面以PWM型BUCK變換器為例，用PSPICE對其進行仿真。如圖，假定電路中的器件均是理想的，電路中參考電壓Vref輸入至反相器的反相端，R上的電壓V(t)輸入至誤差放大器OA1的正向輸入端，OA2的正向端為一個時鐘信號——鋸齒波電壓，放大器產生一個控制信號，作用于PWM，與時鐘信號比較。每周期初始，PWM輸出脈沖，當反饋電路的輸出端(即控制電壓)高于鋸齒波電壓時，輸出為高電平，壓控開關導通;當鋸齒波電壓上升到控制電壓時，輸出脈沖截止。直到下一周期開始，再次輸出脈沖。因此控制電壓的波形決定了輸出脈沖的寬度，進而決定了開關管的導通時間。這樣產生一系列的脈沖信號來控制主電路的壓控開關的。電路中的參數值如下： 輸入電壓Vs=10v ，電容C=100uf，電感L=100uh，負載電阻R=22， 參考電壓Vref=5v，鋸齒波電壓Vpulse(0v，10v，0s，199.99u，0.005u，0.005u，200u)，放大器的放大倍數e=15，穩(wěn)態(tài)時，變換器的輸出含周期性的紋波，然而某些情況下，電路會發(fā)生多脈沖現(xiàn)象，開關通斷多次，從而增加了開關損耗，變換器的效率降低。我們用PSPICE仿真后可得，如下圖：

4 穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件

一般的，穩(wěn)定的DC—DC變換器表現(xiàn)為周期性的穩(wěn)態(tài)。一旦初始暫態(tài)值衰減，狀態(tài)變量就以周期重復?？刂葡鄳碾x散系統(tǒng)的映射有一個吸引性固定點：在周期性的穩(wěn)態(tài)，每一個周期都與下一個相同，所以在每個周期采樣得到的情況都一樣。若變換器是局部漸近穩(wěn)定，相應的一個小的擾動它會使周期穩(wěn)定下來，這個離散系統(tǒng)相應的序列會收斂于這個固定點，因此，這個點是吸引子。相反，若變換器初態(tài)是不穩(wěn)定的，這個序列會偏離固定點。因此，可以得出結論：映射的固定點的穩(wěn)定性決定連續(xù)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。一個吸引性的固定點對應著連續(xù)系統(tǒng)的周期性的穩(wěn)態(tài)。

一階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是映射在固定點處的梯度在-1和1之間。 即

固定點的穩(wěn)定性也可以推廣到高階。不同的是，一階的穩(wěn)定性由梯度決定，而高階由特征增益率決定，固定點的特征增益率是映射在固定點處的雅可比陣的n個特征值。其中雅可比陣是對各個元素求X偏導后所得矩陣。高階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是若特征增益率都落在復平面上的單位圓之內，則固定點穩(wěn)定。

5 混沌的研究狀況

因為分叉、混沌等不穩(wěn)定現(xiàn)象與系統(tǒng)的非線性密切相關，所以在分析研究時必須跳出線性電路的范疇[12].目前最常用的方法是一維映射法。一般的，開關變換器的離散表達式

可寫作

，其中

為輸入,

是第N個周期的占空比, F、T分別是系數矩陣的指數函數。對于閉環(huán)工作的開關變換器，一般有

，

是非線性函數，因而

，這就是一維映射法的原理[13].現(xiàn)在已有比較成熟的理論。文獻[10，5，14]使用該法分析了電流反饋的變換器的分叉混沌現(xiàn)象。最近，Tse的一系列工作如[15]都是推導出該一維映射的解析表達式，通過研究這一映射來得到變換器的動力學性質，揭示了變換器從倍周期、分叉走向混沌的具體過程。

另外，從國內外的研究工作來看，各種頻繁出現(xiàn)在其他領域的線性或非線性現(xiàn)象，都可以在開關變換器中找到類似情況。開關變換器中的混沌運動同樣也與周期軌道有密切關系，在分叉參量變化過程中，閉環(huán)系統(tǒng)的變換器往往先以各種方式經歷一系列周期、倍周器、準周期事件，最后才進入混沌狀態(tài)，這通常稱為通向混沌的具體道路。文獻[6]從計算機模擬和實驗兩方面驗證了開關變換器不僅在PWM閉環(huán)時會產生混沌，即使在開環(huán)情況下，由于二極管和晶體管等開關功率元件的非線性極間電容影響，變換器仍可能產生混沌。文獻[16]研究了電流控制型變換器中的輸入電壓，電容電感以及開關頻率等參數對系統(tǒng)分叉、次諧波、混沌等不穩(wěn)定行為的影響，并畫出了穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域。目前，不穩(wěn)定的分析方法還不完善。文獻[17]用微分動力系統(tǒng)方法研究了Boost變換器的分叉現(xiàn)象，認為該電路存在靜態(tài)分叉和動態(tài)分叉并得出其存在的條件。雖然文獻[17]的方法處理嚴格，結果較為準確，但是較繁瑣。

6 結束語

本文對變換器的混沌概念、特點、分析方法、研究現(xiàn)狀作了一個較全面的綜述。由上可知，隨著混沌理論的發(fā)展，變換器中的混沌現(xiàn)象的研究也有了一定的成果。，混沌的分析方法還主要是一維映射法，但是一維映射法是否適合于所有的變換器，是否還有別的方法，這都有待進一步研究。