在這篇文章中，我們將演示如何使用 OpticStudio 的 TrueFreeForm 面，設計AR/VR設備中的人眼追跡系統(tǒng)（eye-tracking subsystem），這個系統(tǒng)通常位于裝置的楔形透鏡結構中。此外，為了完成子孔徑（sub-aperture）矢高（sag）的優(yōu)化，我們會透過優(yōu)化 TrueFreeForm 面的網格矢高（grid-based sag）以達成目標。在優(yōu)化的過程中，人眼追跡系統(tǒng)的影像質量可以隨之提升。

簡介
在 OpticStudio 中，TrueFreeForm 面屬于序列模式下的一種面型。此表面結合了多項式（Polynomial）和網格矢高兩種面型的特性。另外，以 TrueFreeForm 面進行設計時，我們還可以對網格矢高中的每個點為目標，并且以非參數化（non-parameterized）的方式進行矢高的優(yōu)化。當用戶想以局部區(qū)域為優(yōu)化目標，或是多項式函數無法完整呈現矢高架構時，TrueFreeForm 面會是我們的好選擇。

背景知識
在使用 TrueFreeForm 面進行設計時，我們能以多項式函數的型式，如雙錐 toroidal （biconic toroidal）、偶次項非球面（even asphere）、Zernike標準矢高（Zernike standard polynomial）、擴展多項式（extended polynomial）以及網格矢高定義的方式設定矢高。在同一個表面取得上述的函數可以為我們的設計過程來一些好處，例如原先以擴展多項式（extended polynomial）、雙錐 toroidal （biconic toroidal）或網格定義（grid-based definitions）為目標進行的自由曲面優(yōu)化，現在可用Zernike系數對不規(guī)則的設計進行額外的公差分析。此外，我們還可以將網格矢高上的各點設為變量進行矢高的優(yōu)化，這是以TrueFreeForm面進行設計時較有趣的一點。

相較于參數式（parametric）優(yōu)化，網格矢高優(yōu)化具有許多優(yōu)點。由于預設的網格矢高內插算法是以雙三次樣條（bicubic spline）的方式進行計算，因此值域中的每個點只會對網格中相鄰的至多兩點產生影響。假如我們針對數據中的一點進行優(yōu)化，則系統(tǒng)只會改變局部的表面結構，距離較遠的表面信息則會維持原樣。下圖顯示了一個簡化的一維平滑曲線模型。圖中的三條曲線分別以5個點定義出三次樣條（cubic spline）。我們可以看到圖中最左邊的點會在三條曲線間移動，但只會對距離最近的兩點產生影響。

接著我們利用下圖將上述概念推廣到二維空間。我們先以二維網格的矢高值表示目標的表面結構，并選擇其中一點進行矢高的優(yōu)化（圖中紅點），可以看到只有藍色方形（5×5個點）內的區(qū)域會受到影響。

以上的例子告訴我們兩件事。第一，以網格矢高的方式進行優(yōu)化，我們可以將優(yōu)化目標限制在局部的區(qū)域中; 相對的，使用參數式優(yōu)化時，每當我們對單一數值進行變更，則整個表面的結構均會發(fā)生變化。第二，我們可以較輕易的產生特殊的表面幾何關系，而這是我們很難以有限次的多項式函數達成的。

在使用網格矢高優(yōu)化時有兩點需要特別注意。由于矢高網格會運用到三次方的內插法（cubic interpolation），這代表由一組數據點所產生的曲線會受到幾何關系的限制。此外，用于定義網格的矢高數據量也是進行優(yōu)化時重要的考量。資料點太多會降低優(yōu)化的效率（變數過多），且會對取樣產生負面的影響（在接下來的篇幅中會再詳述）。另一方面，若系統(tǒng)以過少的數據點進行優(yōu)化，將難以產生最佳的優(yōu)化表面。因此，在使用網格矢高的方式進行優(yōu)化前，我們需要更謹慎的設定網格的參數。

實際案例-TrueFreeForm 面網格優(yōu)化
設置

在這個范例中，我們利用將以一個具有自由曲面楔形棱鏡的頭戴式透視顯示器（optical see-through head mounted display）進行設計，此光學系統(tǒng)參考了Gao C. 和Hua H.的專利（EP3270194A1）。顯示器中的NIR（近紅外光）人眼追跡系統(tǒng)包含了三個相同的光學表面，和一個用于聚焦的楔形單透鏡。一開始，我們以擴展多項式（extended polynomial）的方式在OpticStudio中建立三個面。由于TrueFreeForm面也能支持擴展多項式函數，所以可以此作為設計的起點。接著，我們將進行微顯示器的優(yōu)化和人眼追跡系統(tǒng)的嵌入。在這些過程中，我們還不會對參數式自由曲面的光學表面進行校正。

注意，為了簡化設計我們忽略了光學系統(tǒng)中的透視（see-through）結構，并且只以單一波長的入射光進行優(yōu)化。

此外，一開始的光學表面優(yōu)化是以顯示器系統(tǒng)的成像為目標，而忽略了人眼追跡系統(tǒng)的表現。因此在優(yōu)化結果的呈現上，F/3 NIR光學系統(tǒng)會有不錯的影像質量，但NIR人眼追跡系統(tǒng)則不然。我們可以在下方的MTF圖中看到以完整FOV取樣的結果，以及NIR人眼追跡系統(tǒng)中所有視場的像散。后者的平均像散約為1.4個波，并在整個FOV具有1.42個波的RMS平均波前誤差。

為了得到各系統(tǒng)較平衡的結果，我們可以重新對三個自由曲面進行優(yōu)化。但要注意的是，任何增進NIR人眼追跡系統(tǒng)影像質量的改變，都將對顯示器系統(tǒng)的成像造成負面的影響。此時，改以TrueFreeForm面進行設計便成了一個更好的選項。如果用戶想在不犧牲顯示器成像質量的情況下改善人眼追跡系統(tǒng)，可以由S3 （即棱鏡最上方的面）的子孔徑優(yōu)化著手。

定義網格矢高變數

注意，在下圖中我們可以看到NIR光束在S3上產生成像路徑的光跡（footprint， 綠色區(qū)域）和微顯示器上的光線（藍色區(qū)域）是明顯分離的。

當TrueFreeForm面S3的擴展多項式已根據微顯示器系統(tǒng)完成優(yōu)化，我們接著將網格矢高的信息填入表面矢高的設定中（默認值皆為0）。此時，只剩下S3上接收NIR光束（人眼追跡系統(tǒng)）的區(qū)域需被重新優(yōu)化。需要注意的是，在優(yōu)化的過程中由微顯示器發(fā)出、落在S3上的光束所產生的光跡不會受到影響。此外在原先的設計中，與視場無關的像散為主要的像差。因此我們可以使用較低階的表面輪廓修正明顯的改善成像質量。有了以上的認知，我們就可以開始著手進行設計了！

我們首先產生一個空白的網格矢高檔案，文件中所有的數值均為0。我們可以善用系統(tǒng)左右對稱的特性，僅先針對右半邊的網格矢高信息進行優(yōu)化。接著利用對稱功能，使左半邊的數值隨右半邊變化。透過上述的步驟我們可以有效減少變量個數，將變量集中在右半邊。

上圖中為網格矢高的信息。右圖中，所有的數據點均以黑色的“x”表示。我們可以看到淺藍色、且大小為4×4的范圍代表了變數區(qū)。在前面的篇幅中曾提到，雙三次樣條的內差算法將變量影響的范圍向外擴增兩點，也就是圖中的橘色區(qū)域。確認了網格的密度和變量區(qū)域后，我們可以肯定光學表面的信息會被限制在微顯示器的成像范圍內，意即微顯示系統(tǒng)的表現將在優(yōu)化的過程被保留。

在下圖中，我們選取了目標范圍內的網格矢高點，且令為變數。

優(yōu)化網格矢高

在完成網格矢高的定義和變量設定后，我們就可以開始建立優(yōu)化函數了。我們首先將表面的優(yōu)化限縮在一個子孔徑內，也就是說我們會移除大部分的變量，僅保留網格矢高的數據點和NIR的接收位置。此時所有之前用來優(yōu)化顯示器系統(tǒng)的目標均須被移除。

我們以一個預設的優(yōu)化函數進行優(yōu)化。在這里要注意的是，在光瞳積分（pupil intgration）設定方面，我們選擇以矩形陣列（Rectangular Array）進行設計，而非高斯求積（Gaussian Quadrature），因為后者會使光瞳中大部分的區(qū)域不被采樣。上述的狀況并不是我們樂見的，每個網格變量的影響范圍不同可能導致部分視場或光瞳無法被等量的優(yōu)化?；谝陨厦枋觯覀冊谶M行設計時將需要較高的光瞳及視場采樣率，避免只有目標中的部分區(qū)域被優(yōu)化（特別是進行焦平面周圍區(qū)域的優(yōu)化時，此時的表面上的光跡會因為視場的不同而有明顯的間隔）。

在完成視場及光瞳的采樣設定后，我們還需要再加入一些關于最大傾斜度（allowed maximum slope）和矢高的限制，而操作數GOPT可以幫助我們順利達成目的。GOPT檢視了網格中的矢高和局部區(qū)域的斜率，確保這些數值的最大和最小值都能被限制在合理的范圍內。

優(yōu)化結果

優(yōu)化結束后，我們可以看到一個局域的矢狀面（sagittal）曲率被加入目標的區(qū)域中以抵消大部分的像散，同時又使non-local的表面信息維持不變。這樣的結果很接近我們原先對矢高的預期。

我們可以通過MTF結果觀察到微顯示器系統(tǒng)在優(yōu)化前后有相同的表現。這樣的結果也證實了網格變量的選擇是合理的，且這些變量與NIR人眼追跡系統(tǒng)的優(yōu)化并不會互相影響。

而NIR人眼追跡系統(tǒng)經過優(yōu)化后，成像的表現有了顯著的提升。系統(tǒng)的像散在各視場有了幾個數量級的改善（如850 nm處由1.38個波縮小為0.0509個波）。而此系統(tǒng)的MTF表現也有明顯的提升（在 40 lp/mm時，平均視場為0.45），用戶可以看見清晰的像。這樣的結果使我們可以準確的接收用戶瞳孔的NIR反射，并據此來幫助在軟件中投射影像的優(yōu)化。

結論
在這篇文章中我們看到了一個網格矢高優(yōu)化功能可以成功的應用在局部表面的修正及部分光學系統(tǒng)的成像改善，且同時保留了非局部（non-local）的矢高。至于此優(yōu)化功能的缺點則是用戶必須謹慎的設定視場和光瞳的采樣以及矢高網格的變量數量。一般而言，這種優(yōu)化方式會需要較高的光束采樣和大量的變量，以至于需要較長的優(yōu)化時間。

此外，還有一些我們在進行自由曲面優(yōu)化或制造時需要注意的地方。在建立優(yōu)化函數時，我們僅使用為數不多的 GOPT 操作數限制變量區(qū)內的矢高和斜率。為了使所有的表面維持連續(xù)的狀況，OpticStudio 會黏合變量區(qū)和周圍網格矢高結構的邊緣，這時就可能出現交界處十分陡峭的情形。范例中的變量區(qū)在X方向的長度約為5 mm，我們可以在該表面向外延伸的區(qū)域發(fā)現斜率急劇變化的現象（準確的來說，延伸區(qū)域為向外2個網格點，即變量的影響范圍）。如果能確保每個矢高點的影響范圍都有合理的斜率，將進一步使我們的設計更理想。我們可以利用 SSAG 操作數或是其他等效的斜率計算方式，達到限制特定區(qū)域斜率的目的，例如變量區(qū)的 RMS 斜率。