在許多研究 pn 結(jié)中電流隨溫度變化的實驗室實驗中，反向飽和電流被假定為常數(shù)。這是一個近似值，因為這個量很大程度上取決于溫度。在更現(xiàn)實的情況下，我們建議在 Mathematica 計算環(huán)境中進行虛擬/計算實驗。

介紹

在之前的教程中，我們看到，在電位差V 的作用下，pn結(jié)中的電流在溫度T下處于熱力學(xué)平衡狀態(tài)：

其中a = 1 / 11600 (V / K)，而(對于鍺為1)：

這里，V g = 0 . 785 V(帶隙以伏特表示)，而K是一個正常數(shù)。從公式 (1) 中我們可以看出，I 0 ( T ) 是V → ?∞時反向飽和電流的絕對值。

由于方程 (1) 中第二個元素的指數(shù)快速衰減，室溫下 |V | 的 I 0 (T) 值達到 70 ÷ 80 V 的數(shù)量級。

為了確定常數(shù)K，我們使用二極管制造商通常提供的數(shù)據(jù)：

I 0 ( T amb ) 其中T amb 為環(huán)境溫度。對于鍺，典型值為 1 μ A，T amb = 298 . 15 K(相當(dāng)于 22°C)。根據(jù)公式 (2)，以適當(dāng)?shù)臏y量單位可得出K = 206 . 638。當(dāng)然，由于K為常數(shù)，因此該值與溫度無關(guān)。

電路原理圖

現(xiàn)在我們可以重建指定二極管的電壓-電流特性。在室溫下，我們得到圖 1 中的趨勢，從中我們可以看到由于二極管的電阻很小，電流達到了禁止值。讓我們記住，理想情況下，二極管在正向偏置時表現(xiàn)得像短路。為了限制電流，我們插入一個電阻負載，如圖 2 所示。

圖 1：電壓-電流特性( T = Tamb的函數(shù) (1) 圖)

圖 2：我們通過添加與二極管串聯(lián)的電阻負載來限制電流強度。該串聯(lián)由可變電壓發(fā)生器供電

實驗安排

在分析討論圖 1 中的電路之前，我們先從實驗的角度觀察，除了已經(jīng)提到的溫度 Tamb 之外，以下溫度也很有趣(小寫字母表示以 °C 為單位的溫度)：

因此需要四個恒溫器。第一個是環(huán)境;第二個是水熱量計(溫度T 1);第三個是融化的水和冰熱量計(溫度T 2);第四個是液氮熱量計(溫度T 3，1 個大氣壓下液氮的沸點)。由于這些是水恒溫器，因此測量的電路部分(電壓表、電流表)必須適當(dāng)防水。

電路的數(shù)學(xué)分析

精確解

將基爾霍夫第二原理 [2] 應(yīng)用于圖 1 中電路的單個鏈路，可得出：

其中V D 是二極管兩端的壓降。電流I 的計算公式為：(1) 將V替換為V D。因此，我們得到：

對于給定的V值和T = T k (方程 (3))，剛剛寫的方程構(gòu)成了一個未知數(shù) ( I, V D ) 的系統(tǒng)，從中可以很容易地得到：

這是一個超越方程，需要對給定V值的I進行數(shù)值求解，而對于給定的V ，溫度T取(3) 中的一個值。因此，可以使用任何傳統(tǒng)編程語言(例如 Fortran)在軟件中重建量I ( T, V )。

然而，使用 CAS(計算機代數(shù)系統(tǒng))，我們可以強制求解(6)，而無需借助數(shù)值分析。例如，Mathematica通過Lambert 函數(shù)3來表達該解。

請注意，對于給定的T值，I ( T, V ) 與V的關(guān)系圖不是二極管的電壓-電流特性，因為后者是電壓降V D的函數(shù)，而電壓降是方程組的第二個未知數(shù)。一旦知道這兩個量，我們就用Mathematica構(gòu)建一個有序?qū)α斜?，其元素分別是V D和I，然后我們繪制它們的圖像。例如，對于T = T 1 = 320 K 和R = 1 kΩ，我們得到圖 3 中的趨勢。對于T = T 3 = 77 . 3 K 時，我們得到圖 4 中繪制的趨勢。請注意，電流范圍保持不變，而V D 范圍增加。這意味著電流隨著熱量下降而下降。

圖 3： T 1 = 320 K時電流強度隨V D變化的趨勢。串聯(lián)電阻為R = 10 3 Ω

圖 4： T 2 = 77 . 3 K時電流強度隨V D變化的趨勢。串聯(lián)電阻為R = 10 3 Ω

近似解

考慮到反向飽和電流與溫度無關(guān)，公式(6)變?yōu)椋?

使用Mathematica重復(fù)該過程，我們發(fā)現(xiàn)電壓-電流特性(VD ，I )與T = T 1 時的精確特性差別不大，因為這個溫度略高于室溫(精確解與近似解重合)，而我們從圖 5 中的圖表中看到T = T 3 = 77.3 K 時存在顯著差異。為了使差異更加明顯，我們在圖 6 中以對數(shù)刻度報告了解(精確解和近似解)的趨勢。

圖 5：假設(shè)反向飽和電流為常數(shù)， T 3 = 77 K時，電流強度隨V D變化的趨勢

圖 6：藍色曲線是電流強度與V的關(guān)系，計算時考慮了反向飽和電流對T的依賴性。紅色曲線是近似解，即電流強度與V 的關(guān)系，計算時假設(shè)反向飽和電流與溫度無關(guān)

結(jié)論

從物理上講，圖 6 中顯示的單個解決方案(精確和近似)的趨勢正是預(yù)期的，因為通過降低溫度，pn 結(jié)各個區(qū)域中少數(shù)載流子的濃度逐漸降低。這會導(dǎo)致反向飽和電流減小，因此正向偏置電流也會減小，因為反向電流對正向電流有貢獻，如先前的工作所示。因此，認為I 0與溫度無關(guān)是不現(xiàn)實的。

20240706_6688b2821f1a8__PN 結(jié)熱行為虛擬實驗