三維空間直角坐標系的平移變換

文章的開頭，還是先講講坐標系的平移變換，平移變換的過程如下圖所示：

假設(shè)點P是空間中的任意一點，其在XYZ坐標系中的坐標為(x, y, z)?，F(xiàn)在點P不動，我們將XYZ坐標系做一個平移的操作，把XYZ平移到X′Y′Z′的位置，O′是平移后的坐標的原點，要注意的是，O′在XYZ中的坐標為(x0, y0, z0)。點P在XYZ坐標系中的坐標為(x, y, z)，點P在平移后的坐標系X′Y′Z′中的坐標為(x′, y′, z′)。根據(jù)上面這個示意圖，聰明的你一下就可以發(fā)現(xiàn)：

通過上面的式子，我們可以求解出點P在X′Y′Z′坐標系中的坐標為：

把上面的式子轉(zhuǎn)換成矩陣的形式就是：

這就是三維空間直角坐標系的平移變換了。

三維空間直角坐標系的旋轉(zhuǎn)變換

下面我們來看看三維空間直角坐標系的旋轉(zhuǎn)變換，小D最開始在研究旋轉(zhuǎn)變換的時候，只推導(dǎo)了右手坐標系的旋轉(zhuǎn)變換。有一次看到了一篇文獻，它用的是左手坐標系，但小D對文獻中給出的公式的正確性感到懷疑，而我們要在代碼中用到相關(guān)的坐標轉(zhuǎn)換，這意味著我們需要知道左手坐標系旋轉(zhuǎn)矩陣的正確表達式，所以小D又把左手坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣推導(dǎo)了一遍。

右手坐標系的旋轉(zhuǎn)變換

右手坐標系的旋轉(zhuǎn)過程有三個，分別是繞X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)，右手坐標系在旋轉(zhuǎn)時，通常規(guī)定以逆時針旋轉(zhuǎn)方向為正方向。

①XYZ右手坐標系繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角

先來推導(dǎo)右手坐標系繞X軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣，這個過程可以用下面這個示意圖表示：

假設(shè)P點為空間中任意一點，為了便于觀察與推導(dǎo)，我們將P點放在YOZ平面內(nèi)。P點在空間中保持不動，XYZ坐標系繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ形成新的坐標系X′Y′Z′，P點在XYZ中的坐標為(x, y, z)，P點在X′Y′Z′中的坐標為(x′, y′, z′)，現(xiàn)在我們已知(x, y, z)、旋轉(zhuǎn)角度θ和(x′, y′, z′)，求旋轉(zhuǎn)矩陣Rx。在推導(dǎo)的過程中，我們還要假設(shè)一個變量，就是點P相對于Y軸正方向逆時針的夾角為φ。

很明顯，點P在XYZ坐標系中的Y,Z軸坐標可以表示為：

點P在X′Y′Z′坐標系中Y′,Z′軸坐標為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點在XYZ中X軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的X′軸坐標是相等的，所以有：

把這個表達式表示成矩陣相乘的形式為：

上面的Rx就是XYZ右手坐標系繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角，空間中的點從XYZ坐標系變換到X′Y′Z′坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣，Rx的表達式為：

②XYZ右手坐標系繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角

有了前面的推導(dǎo)過程，XYZ右手坐標系繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣的推導(dǎo)就一葫蘆畫瓢了。旋轉(zhuǎn)過程如下圖所示：

點P在XYZ右手坐標系中的X,Z軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的X,Z軸坐標為：

把x，z帶入x′，z′中，同時P點在XYZ中的Y軸坐標與X′Y′Z′坐標系中的Y′軸坐標是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ右手坐標系繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Ry為：

③XYZ右手坐標系繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ右手坐標系繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ的過程如下圖所示：

點P在XYZ右手坐標系中的X,Y軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的x,y坐標為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點在XYZ中的Z軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的Z′軸坐標是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ右手坐標系繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Rz為：

左手坐標系的旋轉(zhuǎn)變換

左手坐標系的旋轉(zhuǎn)過程也是三個，分別是繞X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)，左手坐標系在旋轉(zhuǎn)時，通常規(guī)定以順時針旋轉(zhuǎn)方向為正方向。

①XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的過程示意圖如下所示：

上圖中，點P為空間中任意一點，點P保持不動，XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角形成新的坐標系X′Y′Z′。已知點P在XYZ坐標系中的坐標為(x,y,z)，點P在X′Y′Z′中的坐標為(x′,y′,z′)，我們要求的是XYZ坐標系變換到X′Y′Z′坐標系這個過程中的旋轉(zhuǎn)矩陣。

從圖中可以看出，點P在XYZ坐標系中的Y,Z軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的Y,Z軸坐標為：

把y，z帶入y′，z′中，同時P點在XYZ中的X軸坐標與其在X′Y′Z′中的X′軸坐標是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ左手坐標系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

②XYZ左手坐標系繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ左手坐標系繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角形成X′Y′Z′坐標系，其過程示意圖如下所示：

點P在XYZ坐標系中的X,Z軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的X,Z軸坐標為：

把x，z帶入x′，z′中，同時P點在XYZ中的Y軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的Y′軸坐標是相等的，所以有：

以矩陣形式表示為：

所以，XYZ左手坐標系繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Ry為：

③XYZ左手坐標系繞Z軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ左手坐標系繞Z軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角形成X′Y′Z′坐標系的過程示意圖如下所示：

點P在XYZ坐標系中的X,Y軸坐標為：

點P在X′Y′Z′坐標系中的X,Y軸坐標為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點在XYZ中的Z軸坐標與其在X′Y′Z′坐標系中的Z′軸坐標是相等的，所以有：

將上式表示成矩陣的形式為：

所以，XYZ左手坐標系繞Z軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Rz為：

左手坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣到這里就推導(dǎo)完啦。

旋轉(zhuǎn)矩陣的運用

實際中，當(dāng)我們要推導(dǎo)兩個不同的坐標系，比如地心地固坐標系和北東天、北東天坐標系和機體坐標系等坐標系之間的變換關(guān)系時，就要用到上面的旋轉(zhuǎn)矩陣。一般的方法是，根據(jù)實際的旋轉(zhuǎn)過程，按旋轉(zhuǎn)的先后順序計算旋轉(zhuǎn)矩陣。

比如對于右手坐標系，如果有一個過程是先繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)α，再繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)β，最后繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)γ，那么最終的旋轉(zhuǎn)矩陣的表達就是：

在應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矩陣的過程中，小D還總結(jié)了一個經(jīng)驗：不管是左手坐標系還是右手坐標系，假如繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角，相當(dāng)于繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)2π-θ角，同時也相當(dāng)于繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)-θ角。

旋轉(zhuǎn)矩陣的驗證

推導(dǎo)了這么多公式，那推導(dǎo)結(jié)果是否正確呢？我們可以從《雷達數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用》中找到相關(guān)內(nèi)容：

從書中的截圖中可以驗證，自己推導(dǎo)的平移變換以及右手坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣是沒有問題的。但是左手坐標系的推導(dǎo)，小D至今沒有找到相關(guān)文獻，但小D相信肯定是有的。

然后小D向gpt求證，gpt給出的答案是這樣的：

很顯然，gpt給出的右手坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣不是小D上面推導(dǎo)的結(jié)果，也跟書中的結(jié)果不一樣。于是小D又去問了gpt4，gpt4的回答是這樣的：

gpt4的回答和gpt3.5的回答如出一轍，當(dāng)時小D心想，gpt腦子估計又瓦特了。直到最近，小D看到了一本英文書籍Geometric Transformations for 3D Modeling_Michael Mortenson，小D才明白，原來gpt是沒有正確理解問題，它給出的是坐標系中的點轉(zhuǎn)動，坐標軸不動的情況。這本英文書籍中坐標轉(zhuǎn)換相關(guān)的內(nèi)容是這樣的：

這個時候，小D才明白為什么gpt會給出那樣的答案，因為旋轉(zhuǎn)分為兩種：

①點不動，坐標軸旋轉(zhuǎn)，就是小D推導(dǎo)的公式

②坐標軸不動，點旋轉(zhuǎn)，就是gpt第一次回答的公式

以另一種方式問它，它就回答對了“點不動，坐標軸旋轉(zhuǎn)”的旋轉(zhuǎn)矩陣正確的公式：