■ 前言

在網文 「An Electronic Mesurement of the Boltzmann's Constant Using I-V Characterisctic of a Silicon 2N2309 Diode」^[1] 中介紹了使用三極管2N3094來測量 「Boltzmann Constant」 的方法。

由于這個方法簡便易行，所使用的設備也是大多數電子實驗室都具備，所以稱為很多電子類課程中，學生喜歡做的電子實驗。

玻爾茲曼常數（Boltzmann constant），通常使用 表示，是指有關于溫度及能量的一個物理常數。玻爾茲曼是一位奧地利物理學家，在統(tǒng)計力學的理論有重大貢獻，玻爾茲曼常數具有相當重要的地位。

01實驗及數據分析

1.基于2N3904的Boltzmann常數

在PN結兩邊，存在一個由電子-空穴擴散而形成的耗散區(qū)，以及伴隨著的接觸電位 區(qū)，只有熱量動能超過 的電子才能夠從n型區(qū)域穿越到p型區(qū)域。根據統(tǒng)計力學原理，處在熱平衡下電子的動能分布遵循 「玻爾茲曼分布」^[2] 。具有能量為 的概率為：

其中 是漂移電流， 是比例常數， 是溫度， 是玻爾茲曼常數。

這股漂移電流在耗散區(qū)建立一個電場 。到外部電壓 施加在PN結，產生電場 ，產生電流：

這樣，外部總電流為：

在推文開始提到的文章中，使用 「2N3904」^[3] 測試二極管的I-V特性。對于2N23904的電流放大和轉換，選擇了 「LF356」 運放進行I-V轉換。LF356的偏置電壓為10mA和偏置電流為30pA。

下面是實驗所使用的電路圖。根據「Measurement of Boltzmann's constant」^[4] 文獻中描述，測量A，B兩點的電壓，便可以建立起 的發(fā)射結對應的電壓與電流之間的關系。

后級的 「LF351」^[5] 組成電流-電壓轉換電路，根據電路中的參數，B點的電壓與流經 集電極電流之間的關系為： 。

在實驗中，使用「DP1308可編程直流電源」^[6]的-25V輸出電壓串聯(lián)一個10kΩ電阻做為A點給定電源。使用「FLUKE45」測量A點電位，使用「DM3068」 位數字萬用表測量B點的電壓并自動記錄。

2. 測量數據分析

設置數字直流電源DP1308輸出電壓從**-0.2到-10V**，同時測量A,B兩點的電壓變化，并換算成PN結的電壓-電流關系，繪制如下。

利用模型（3）匹配上述測量數據，將模式簡化成下帶有參數[a,b,c]的指數函數關系，利用前面測量的PN結I-V數據，使用SCIPY.OPTIMIZE中的curve_fit函數進行函數擬合，獲得參數[a,b,c]的數值。

測量參數為：

a=2.33332986e-11 

b=3.79731168e+01 

c=8.85188988e-03

由模式(3)可以知道，參數b與Boltzmann常數之間的關系：

將常數e, T = 300(27攝氏度)代入上面公式，可以得到:

這個數值比現在測到得到精確的Botlzmann常數大了1.9%左右。在上述時間條件下，這個數值非常精確了。

3. 基于NPN 8050測試Boltzmann常數

將前面所使用的三極管2N3904更換成另外一款NPN性的硅三極管8050，使用相同的測試方案完成8050的b-e結的電壓-電流測試，所得到的數據曲線如下：

使用相同的方法進行建模，并計算參數：

這個數值比精確Boltzmann常數大了3.29%。

4. 將2N3904的C.E對換測量

測量三級管b-c之間的PN結的電壓與電流曲線。在上述實驗中將2N3904的c，e管腳互換，測量得到的PN結電流-電壓曲線如下：

這個結果比精確Boltzmann常數大了14.2%。

5. 只使用2N3904的b-e的PN結進行測量

根據測量的電壓電流曲線，可以得到對應的模型參數和Boltzmann常數如下：

這個數值比起精確的Boltzmann常數的數值高了78.1%。

02二極管的分段特性對結果的影響

在博文 「二極管極低電流I-V特性測量」^[7] 中，給出了二極管PN結的分段指數特性，即模型（3）中的電流 在不同的前向電流的情況下取值是不同相同，這個變化也會導致測量的Boltzmann常數發(fā)生變化。

在實驗[02-1]中，選擇不同測量數據的來擬合估算Boltzmann常數會產生一定的變化。下面選擇2N3904測量數據中，從數據編號n=10（對應電流：0.06mA）開始，結束數據編號n從50變化到100，使用模型（3）計算相應的Boltzmann常數，對應的誤差曲線如下：

從數值計算結果來看，使用前面數據測量范圍（10~78），對應電流（0.06mA變化到0.7mA）時，測到得到的Boltzmann的誤差最小。

※ 結論

1.PN測量不同方案比較

使用相同的PN結的模型，對于四種不同的方案測量了Boltzmann常數，其中包括有兩種不同型號硅NPN雙極性三極管，三極管的b-e,b-c結的測量，以及直接測量b-e的PN結電壓電流的情況。

通過前面的實驗，可以看到使用2N3904基極接地的配置，測量的結果誤差最小。更換NPN晶體管為8050，測量的結果偏大一些。如果將2N3904的C,E極進行對換，雖然從晶體管的結構上是對稱的，但是結果誤差更大。

由于PN結電壓-電流模型中的參數隨著電流不同，導致PN結附近半導體內部的電子與空閑運動模式變化，從而使得模型參數也發(fā)生變化。所以使用不同電流范圍數據，測量數的Boltzmann的數據有所變化

2.參考文獻

1. 「Measurement of Boltzmann's constant」 ^[4] .  Phys. Educ. 20 1996. Printed in Great Britain.

Reference