1.連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)分析

任何一個周期為T的正弦周期信號，只要滿足狄利克里條件，就可以展開成傅里葉級數(shù)，(至于為什么能展開傅里葉級數(shù)和什么是狄利克利條件，這里先不說，我們知道有這樣的結(jié)論就好)。三角形式的傅里葉級數(shù)為：

或?qū)懗珊喜⒌男问剑?

，

其中(這里用括號代表下標(biāo))w(0)=2*pi/T, a(0),a(k),b(k)分別代表直流分量，余弦分量幅度，正弦分量幅度，C(k),

為合并后的各正弦諧波分量的幅度和初相位，這兩個都是kw(0)的函數(shù)，畫出它們與kw(0)之間的關(guān)系的圖像稱為信號的頻譜圖，C(k)—kw(0)圖像為幅度譜，—kw(0)為相位譜。

傅里葉級數(shù)就是說一個周期信號能夠由無限個不同頻率的正弦信號組成，這些正弦信號稱為諧波分量，而頻率隨著k的增大而增大，k=1為一次諧波，k=2為二次諧波，可知諧波的次數(shù)越大，頻率就越大(越往后的諧波分量在這個信號中占的份量就越小，即影響不大所以k可以取到有限)。也可以反過來理解：用無限個正弦諧波分量可以合并成一個任意的非正弦周期信號。(這就可以理解為什么會有用頻帶濾波器來消除噪音，所謂的噪音可看成是一個頻率較小的諧波分量，加到信號上面就使信號變了樣，所以這時候要去掉和噪音頻率相近(因為不知道噪音頻率是多少)的諧波分量就是頻帶濾波，同樣的低通高通也一樣，通過對相應(yīng)的頻率進(jìn)行處理，只不過這時候就要換到頻域上面才能進(jìn)行濾波，上面說到的兩個頻譜圖就是換到頻域上的例子)。

由歐拉公式，可以把三角形式的傅里葉級數(shù)換成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為：

這樣周期信號也可以由無限個不同頻率的互為諧波關(guān)系的周期復(fù)指數(shù)信號組成。

其中a(k)為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

其實系數(shù)a(k)與三角形式中的a(k),b(k)有關(guān)系，a(k)=1/2*(a(k)-jb(k)),所以a(k)為一個復(fù)數(shù)，絕對值為該諧波分量的幅度，相位角可由實數(shù)a和虛數(shù)b得到。(為什么會有正負(fù)呢?這完全是數(shù)學(xué)運算的結(jié)果，只有把負(fù)頻率項與相應(yīng)的正頻率項成對地合并起來，才是實際的頻譜函數(shù)。)

2.用MATLAB畫出一個周期信號的頻譜圖

T=2;dt=0.0001;t=-2:dt:2;

>> x1=sin(t);

>> w0=2*pi/T;

>> N=10;

>> L=2*N+1;

>> for k=-N:N; %表示諧波分量

ak(N+1+k)=(1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t')*dt;

end

>> phi=angle(ak);

>> subplot(211);

>> f=(-N:N)*w0

>> plot(f,abs(ak))

>> subplot(212);

>> plot(f,phi)

3.非周期信號的傅里葉變換分析

這里就不說明非周期信號的傅里葉變換怎么得來，怎么由離散頻率變?yōu)檫B續(xù)頻率了。直接來兩條公式再對公式進(jìn)行說明。

傅里葉變換和其逆變換：

，，

任意非周期信號，如果滿足狄利克里條件，那么，這個信號可以看成是由無窮多個不同頻率(這些頻率非常的接近，可看作連續(xù))的周期復(fù)指數(shù)信號的線性組合構(gòu)成的。每個頻率對應(yīng)的周期復(fù)指數(shù)信號稱為頻率分量，其相對幅度為對應(yīng)頻率的|X(jw)|的值，其相位為對應(yīng)頻率的相位X(jw)的相位。

MATLAB實現(xiàn)，由于計算機(jī)只能處理有限大小的數(shù)，所以只能取一定的值。

>> T=0.01;dw=0.1;

>> t=-10:T:10;

w=-10:dw:10;

for jw=w

X(w+11)=x1*exp(-j*t'*w)*T %計算傅里葉變換

Xf=abs(X); %計算幅度譜

phai = angle(X) %計算相位譜