作為量子霍爾效應(yīng)家族中的一個(gè)重要成員，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)在近十年來(lái)的實(shí)驗(yàn)和理論研究中都得到了十分廣泛的關(guān)注。近年來(lái)，隨著冷原子光晶格實(shí)驗(yàn)技術(shù)的飛速發(fā)展，如何在格點(diǎn)模型中實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)成為了一個(gè)重要研究課題。分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)是一類(lèi)由粒子間關(guān)聯(lián)引起的、有分?jǐn)?shù)填充數(shù)狀態(tài)的多粒子凝聚效應(yīng)，是一種有“拓?fù)?/strong>序”的凝聚態(tài)系統(tǒng)。它的新奇性表現(xiàn)為帶分?jǐn)?shù)電荷的元激發(fā)，同時(shí)由于其特殊的可容錯(cuò)性拓?fù)湫再|(zhì)從而可實(shí)現(xiàn)高保真量子門(mén)操作，并使得量子態(tài)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)，因而此系統(tǒng)可作為實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算的平臺(tái)。

但是到目前為止，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)還只能在強(qiáng)外磁場(chǎng)、極低溫的二維電子氣中被觀測(cè)到，在格點(diǎn)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)量子霍爾效應(yīng)一直是人們關(guān)注的課題。1988年Haldane首次提出了不借助于朗道能級(jí)實(shí)現(xiàn)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的格點(diǎn)模型。隨著反常量子霍爾效應(yīng)的成功實(shí)現(xiàn)，人們迫切需要探索晶格型分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)辦法。近期的研究表明，對(duì)于一些時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性破缺的格點(diǎn)模型，如果在拓?fù)浞瞧接鼓軒弦胂嗷プ饔?，在填充?shù)為分?jǐn)?shù)的情況下，有希望使基態(tài)成為一種新的強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)溆行驊B(tài)。

最近，中科院物理研究所/北京凝聚態(tài)物理國(guó)家實(shí)驗(yàn)室（籌）凝聚態(tài)理論與材料計(jì)算室的范桁、曹俊鵬研究員和博士生王棟，與美國(guó)普林斯頓大學(xué)/北京計(jì)算科學(xué)研究中心的劉釗博士合作，對(duì)如何在具有可調(diào)拓?fù)淠軒У母顸c(diǎn)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)做了理論研究，取得了重要進(jìn)展。他們?cè)O(shè)計(jì)了一種可調(diào)參數(shù)的Hofstadter模型的變體，得到一類(lèi)能帶拓?fù)鋽?shù)可調(diào)的格點(diǎn)系統(tǒng)。常規(guī)的Hofstadter模型只考慮最近鄰格點(diǎn)間的復(fù)數(shù)躍遷，它破壞了時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性，從而實(shí)現(xiàn)非平庸的拓?fù)淦綆В負(fù)鋽?shù)由非零陳數(shù)(Chern number)來(lái)標(biāo)記。變體方案在不改動(dòng)格點(diǎn)幾何（仍然考慮正方格點(diǎn)）的前提下，引入次近鄰的復(fù)數(shù)躍遷，通過(guò)調(diào)節(jié)最近鄰及次近鄰躍遷幾率幅，可以得到豐富的相圖，在每個(gè)相中拓?fù)浞瞧接鼓軒У年悢?shù)都不同，并且可以對(duì)相進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類(lèi)。在引入相互作用之后，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在不同相區(qū)可以獲得具有不同填充數(shù)的分?jǐn)?shù)拓?fù)鋺B(tài)。分?jǐn)?shù)拓?fù)鋺B(tài)符合兩個(gè)重要的證據(jù)：（i）基態(tài)簡(jiǎn)并，其簡(jiǎn)并度能夠反映出填充能帶流形的拓?fù)?；（ii）基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間存在明顯的能隙，該能隙對(duì)扭轉(zhuǎn)邊界條件是魯棒性的；（iii）作為分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)在格點(diǎn)系統(tǒng)中的對(duì)應(yīng)，還要排除與分?jǐn)?shù)拓?fù)溆行驊B(tài)競(jìng)爭(zhēng)的某些有序相的可能，例如電荷密度波?；诹Ｗ訑?shù)劃分的基態(tài)糾纏譜是一個(gè)檢驗(yàn)基態(tài)是否與分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)相類(lèi)似的有效方法。他們提出的這種變體的Hofstadter模型，有可能在光晶格系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而為實(shí)現(xiàn)可調(diào)拓?fù)淠軒Ш头謹(jǐn)?shù)拓?fù)湎嗵峁┮环N途徑。另外，他們還驗(yàn)證了當(dāng)二維模型退化為一維系統(tǒng)后，分?jǐn)?shù)填充的多體波函數(shù)呈現(xiàn)出類(lèi)似電荷密度波的形式，這與（二維）分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)截然不同。

相關(guān)的研究得到科技部“973”計(jì)劃，國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)以及中科院的支持。該工作發(fā)表在近期出版的Physical Review Letters111,186804 （2013）上。

圖1 非對(duì)角Hofstadter模型的相圖，坐標(biāo)軸分別為對(duì)角（近鄰）躍遷幾率幅和非對(duì)角（次近鄰）躍遷幾率幅。不同顏色的區(qū)域表征具有不同陳數(shù)的相。（a）?=1/3時(shí)的相圖，有四個(gè)相，以相I為例，三個(gè)能帶的陳數(shù)分別為(C1,C2,C3)=(1,-2,1)，而相IV的能帶陳數(shù)則為(C1,C2,C3)=(-2,4,-2)；（b）?=1/4時(shí)的相圖，有六個(gè)相，例如，相I -- (C1,C2,C3,C4)=(1,1,-3,1)，相III -- (C1,C2,C3,C4)=(1,-3,5,-3).

圖2 對(duì)于費(fèi)米子系統(tǒng)，填充數(shù)為1/3 [(a)-(c)] 和1/5 [(d)-(f)] 時(shí)的分?jǐn)?shù)拓?fù)鋺B(tài)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。兩種情況分別對(duì)應(yīng)相圖 [圖1 (a)] 的相II和相I，以第二個(gè)能帶作投影，對(duì)應(yīng)的陳數(shù)分別為C2=1和C2=-2. 可以看到（a）情形的基態(tài)簡(jiǎn)并度為3，（d）情形的基態(tài)簡(jiǎn)并度為5. (b)、(e)兩圖示意了基態(tài)對(duì)于扭轉(zhuǎn)邊界條件的魯棒性。(c)、(f)兩圖為粒子數(shù)糾纏譜，低能糾纏能級(jí)的數(shù)目與相應(yīng)的阿貝爾分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)的情況一致。（對(duì)于玻色子系統(tǒng)可以的得到類(lèi)似的結(jié)果。）

圖3 當(dāng)系統(tǒng)從二維退化到一維時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。對(duì)于費(fèi)米子系統(tǒng)，仍可以得到由長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)引起的基態(tài)簡(jiǎn)并現(xiàn)象，但由粒子數(shù)糾纏譜的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，這類(lèi)分?jǐn)?shù)填充態(tài)的基態(tài)波函數(shù)更像是實(shí)空間中電荷密度波，說(shuō)明它是一種與分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)完全不同的一類(lèi)態(tài)。

新聞來(lái)源：http://www.cas.cn/ky/kyjz/201311/t20131107_3969270.shtml