引言

倒立擺系統(tǒng)具有多變量、非線性和強耦合等特點。姜九龍等提出的使用自抗擾解耦控制方法對倒立擺系統(tǒng)具有良好的控制效果,但是在自抗擾控制過程中跟蹤微分器(TD）、擴張狀態(tài)觀測器(EsO）、非線性誤差反饋器(NLsEF）需要整定的參數(shù)有10種之多。而PID控制法雖然簡單易用,但存在超調量大、魯棒性能較差的缺陷。李慶春采用模糊PID控制方式,雖然其效果相比PID控制法有較大的進步,但仍存在抗抖動性能差、快速性欠佳等缺點。因此,本文借鑒自抗擾控制技術,選擇跟蹤微分器和非線性誤差反饋器,并引入模糊控制理論在直線一級倒立擺裝置上進行實驗。

1直線一級倒立擺數(shù)學模型

本文選擇某公司生產(chǎn)的便攜式直線一級倒立擺作為實驗對象,運用牛頓-歐拉方法建立系統(tǒng)的數(shù)學模型,得出系統(tǒng)內部的輸入-狀態(tài)關系,在忽略空氣阻力和各種摩擦之后,用u代表被控對象的輸入力F,線性化后的運動方程如下:

式中,m、b分別表示擺桿與小車質量:I表示小車摩擦系數(shù):1表示擺桿轉動軸心到桿質心的長度:s表示擺桿慣量:u表示加在小車上的力:x表示小車位置:。表示擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下）。

對式(1）進行拉普拉斯變換即可得到系統(tǒng)傳遞函數(shù),如式(2）所示:

式(2）中代入?yún)?shù)擺桿質量m=0.0426kg,擺桿長度1為0.305m,擺桿轉軸到質心長度1為0.152m,重力加速度g為9.81m/s2,忽略摩擦系數(shù)I,得到傳遞函數(shù)如式(4）所示:

2模糊跟蹤微分器設計

2.1跟蹤微分器數(shù)學模型

本文借鑒自抗擾控制技術作為控制策略的核心,設置一個跟蹤微分控制器充當擴張狀態(tài)觀測器的功能,通過動態(tài)非線性組合對擺桿角度進行控制。

設二階被控對象的狀態(tài)方程為:

式中,f(x1,x2）為系統(tǒng)的已知擾動部分:w(l）為未知擾動部分:I為放大系數(shù):u(l）為系統(tǒng)控制量。

設計跟蹤微分器,二階ADRC離散系統(tǒng)中的跟蹤微分器(TD）可描述為:

式中,a(l）為輸入信號:a1(l）、a2(l）分別為a(l）的跟蹤信號和微分信號:可調參數(shù)R決定跟蹤速度,R越大,跟蹤速度越快:h為TD濾波因子:了為積分步長。

非線性狀態(tài)反饋控制率(NLsEF）:

式中,系數(shù)α反映增益變化速率:α1、α2為非線性因子,其值由經(jīng)驗可得:e1為誤差信號:e2("e/"l）為誤差微分信號:u1為虛擬控制量。

當這些參數(shù)達到各自的期望狀態(tài)時,借鑒ADRC中的NLsEF模塊將這些控制量重新組合生成新的控制量,并將其作為系統(tǒng)最終的控制輸入。

2.2模糊控制器設計

根據(jù)e1、"e/"l的值調整控制器中的模糊變量I1、I2。在其論域上定義7個語言子集:(負大(NB）,負中(NM）,負小(Ns）,零(ZO）,正小(Ps）,正中(PM）,正大(PB）],各模糊變量隸屬度函數(shù)均為三角形(trimf）。取e1、e2的基本論域為[-4,4]、[-1,1],取I1、I2的基本論域為[80,100]、[2,10]。模糊推理采用Mamdani型,去模糊化處理算法為平均加權法。模糊規(guī)則采用"IF-THEN"推理形式,根據(jù)實際經(jīng)驗,針對(I1、I2]建立模糊規(guī)則,將整定后的Ii和誤差信號、誤差微分信號相結合,即用跟蹤微分模糊控制器得到一組新的非線性組合量作為系統(tǒng)輸入。

3仿真及試驗平臺驗證

為了驗證控制器控制效果,在MATLAB的simu1ink環(huán)境下搭建仿真框圖,對比PID控制和跟蹤微分模糊控制器控制效果以及抗干擾性能,如圖1所示。跟蹤微分器1各部分參數(shù):R=10,H=0.01,7=0.01:跟蹤微分器2各部分參數(shù):R=600,H=0.01,7=0.01。同時為了驗證控制器的魯棒性,給小車施加有限帶寬白噪聲的擾動,設置噪聲能量為0.5,采樣時間為0.1s。

從圖1的MATLAB仿真結果可以看出,PID控制和跟蹤微分器模糊控制都能在1s左右使擺桿角度到達目標位置后并穩(wěn)定下來。但是PID控制時,在到達穩(wěn)定狀態(tài)時存在較大的超調量,此時系統(tǒng)抖動性大,對系統(tǒng)的沖擊也較大。運用跟蹤微分器模糊控制,當擺桿角度曲線受擾動時,幾乎不受干擾信號影響。在實驗平臺上驗證仿真的準確性,將擺桿與豎直方向角度控制在弧度小于2.5rad時擺桿進入穩(wěn)擺狀態(tài),在進行PID試驗時,擺桿在穩(wěn)擺過程中有較大范圍的抖動,而在跟蹤微分器模糊控制試驗時,擺桿在小范圍抖動后進入到穩(wěn)定狀態(tài),且在穩(wěn)擺后不會由于外界的小擾動導致擺桿落下。

4結論

（1）針對倒立擺系統(tǒng)的特點,設計了雙通道跟蹤微分器模糊控制器,保證控制的實時性,提高了系統(tǒng)對外界的抗擾動能力。

（2）通過仿真和試驗驗證了跟蹤微分器模糊控制器具有良好的控制效果,不僅能迅速消擺,還具有較強的抗干擾性。

（3）本文設計的控制器的控制參數(shù)少,易于調試,更有利于工程的實際應用,但由于該控制器是單輸入單輸出控制,后續(xù)可研究應用雙通道控制器控制小車位移和擺桿的角度。