引言

隨著信息技術(shù)的發(fā)展,人們對信息的需求劇增,現(xiàn)實中大多數(shù)信號是模擬信號,而信號處理的數(shù)字化,決定了從模擬信息到數(shù)字信息是數(shù)據(jù)采樣的必由之路,由于信息需求量大,信息的信號帶寬越來越大,產(chǎn)生的數(shù)據(jù)越來越多,采用傳統(tǒng)的香農(nóng)-奈奎斯特定理處理寬帶信號越來越困難。而在信息處理和傳輸過程中,為了便于傳輸,會再進行數(shù)據(jù)壓縮,這個過程浪費了大量的采樣資源。文獻[1-6]給出的壓縮感知理論(Compressedsensing)為解決此問題提供了可能,它指出只要信號可壓縮或者在某個變換域是稀疏的,那么就可以用一個與該變換基不相關(guān)的觀測矩陣將高維信號投影到低維空間上,然后通過求解優(yōu)化問題從少量的投影高精度地重構(gòu)原始信號。該理論在圖像信號處理、數(shù)據(jù)采集、醫(yī)學成像、模式識別和無線傳感器網(wǎng)絡等領(lǐng)域受到高度關(guān)注。

1壓縮感知理論

1.1壓縮感知的數(shù)學模型

已知x是一維有限長度信號,可看作一個RN空間Ⅳ×1維列向量,若在某個正交基或者緊支撐框架基w上是稀疏的,則稱信號x在w域N稀疏,也就是說,x信號壓縮成少量的非零值,然后再找一個穩(wěn)定、與變換基w不相關(guān)的k×Ⅳ(k<Ⅳ)維測量矩陣,對稀疏信號進行線性測量,觀測k≥Klog2(EQ \* jc3 \* hps17 \o\al(\s\up 5()次,即得到測量值y,測量公式如下:

在選擇測量矩陣時必須滿足不相干性和約束等距條件(Restricted1sometryProperty,RIP)兩個約束條件。

相干性是兩個不同矩陣間任意兩個元素的相關(guān)程度。設w=(w1,w2,…,wn),o=(o1,o2,…,om),兩者相干性為:

在壓縮感知中,稀疏矩陣與測量矩陣之間相干性低,則對重構(gòu)信號采樣要求少。

約束等距條件:

式中,s為常數(shù),且0≤s<1是精確恢復信號的充分條件。

壓縮感知滿足上述兩個條件得到觀測值,通過測量向量y可正確恢復原始信號x。由于k<Ⅳ,從測量值y恢復原始信號x是一個欠定方程,為解決這個問題,壓縮感知重構(gòu)信號算法將0-范數(shù)轉(zhuǎn)化為1-范數(shù)線性規(guī)劃問題進行求解,具體如式(4)所示:

1.2梯度迭代重構(gòu)算法

如何設計出復雜度低、更精確、更穩(wěn)定且需觀測值少的重構(gòu)算法是壓縮感知理論信號重構(gòu)的主要研究方向。本文提出基于梯度算法,分別用一個補償微參數(shù)和一個全變分因子恢復重構(gòu)信號,來證明基于梯度算法重構(gòu)信號的效果。

1.2.1梯度算法

已知觀測的線性矩陣方程y=s,求解L)函數(shù)最小化問題可以得到解決方案,求解公式如下:

根據(jù)上式可知L)是光滑凸函數(shù),可得下式:

式中,ui為迭代步長:si、si＋1分別對應的是第i、i＋1個元素求得的對應的梯度值。

將式(6)代入式(5),可得迭代步長:

求解可得:

1.2.2利用1-范數(shù)入補償量

若圖像信號是稀疏的,可通過1-范數(shù)求解,選擇參數(shù)入值進行補償以重構(gòu)原始信號。設si,j代表圖像元素,將稀疏圖像的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為求1-范數(shù),如下所示:

該式引入一個參量入作為第一變量與第二變量之間的平衡參數(shù),由于si,j在原點處不可微,則式(9)的解如下:

將迭代步長ujn值代入公式(9)和(10),用梯度下降法,選擇入為一個微小常量(入=0.001~0.01),則參數(shù)入隨著入i＋1=(0.99~0.999)×入i迭代步驟的增加而逐漸減小,即恢復重構(gòu)信號更加精確。

1.2.3約束全變分法

若圖像在時域不稀疏,則將圖像求解轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題,為更好地恢復圖像信號,在梯度算法基礎(chǔ)上,引入一個全變分因子rv(s),則式(9)可轉(zhuǎn)變?yōu)槭?12):

對于MXN圖像si,j,其全變分公式為:

其中:

則可得解如下:

2圖像重構(gòu)實驗對比

為了更加直觀地說明基于梯度算法的重構(gòu)效率,下面用256×256像素的圖片為原始信號,如圖1所示,選擇測量矩陣大小100×56進行仿真實驗。通過仿真實驗,分別得到圖2、圖3兩張圖片:圖2是采用1-范數(shù)算法恢復的圖像,圖3是采用約束全變分方法恢復所得圖像,通過對比,圖3的圖像恢復效果更好。圖4是原始圖像與恢復圖像之間的總變化,信噪比的總變化數(shù)為34.46dB。

3結(jié)語

對于稀疏或可壓縮的信號,引入壓縮感知理論這種新的信號采樣方式,對原始信號進行觀測后,得到恢復信號的觀測值,根據(jù)該觀測值,提出基于梯度算法進行原始信號重構(gòu)的優(yōu)化計算。實驗表明,基于梯度迭代重構(gòu)算法,利用l-范數(shù)補償條件,通過凸優(yōu)化問題限制重構(gòu)總誤差,能以極大概率精確重構(gòu)原始信號。