正巧看到同事在發(fā)卷積的內(nèi)容，由于以往這些概念基本上都還給老師了，今天也重新溫習(xí)一下，以便更好的去理解一些電源控制的問題。去網(wǎng)上看了一下，看到一位知乎網(wǎng)友發(fā)的理解，我覺得很不錯，結(jié)合自己的理解拿過來這里分享一下。

一.關(guān)于卷積概念的基本理解

首先，從基本概念上宏觀概括一下什么是卷積，一般來說，一個輸入信號f(t),經(jīng)過一個線性系統(tǒng)，這個線性系統(tǒng)可以用單位沖擊響應(yīng)函數(shù)g(t)描述，那么，某一個時刻，系統(tǒng)的輸出信號是什么？我們就可以通過卷積來求解。

事實上，卷積就是一個先翻轉(zhuǎn)，也就是“卷“，再滑動疊加的過程，也就是“積”。在連續(xù)的時域時，就是對兩個函數(shù)的乘積求積分，而在離散的情況下，就是對兩個函數(shù)的離散值進行加權(quán)求和，總之是進行一個疊加過程。

前面解釋了什么是卷積，那么如果對應(yīng)多次這樣的過程，也就得到了多個這樣的疊加值，所以這就是卷積函數(shù)。

從上面的基本概念來看，其實卷積的“積”就是一個疊加值，是一個混合的全局的結(jié)果，以信號分析上看，當前時刻系統(tǒng)的輸出值，不僅和當前信號的輸入值及響應(yīng)相關(guān)，還和過往一切時刻的輸入值及其響應(yīng)相關(guān)，卷積結(jié)果就是一種對信號和系統(tǒng)響應(yīng)進行時間上“混合”的結(jié)果。

另外一個問題，為什么要進行卷呢，直接相乘不就行了嗎，實際上，“卷”是為了給卷積增加一些限制，否則時間機器無窮無盡，綿延不斷，到底從哪里哪個時刻開始"積"呢？

二.卷積的信號響應(yīng)案例分析

圖1 信號輸入函數(shù)及時間響應(yīng)函數(shù)

假定，時間輸入函數(shù)f(t)是隨時間變化的，系統(tǒng)響應(yīng)是g(t)，也是隨時間變化的，且隨著時間衰減。它的物理意義是對于一個0時刻的輸入信號f(0),隨著時間的流逝，系統(tǒng)輸出將不斷衰減，到了t=T時刻，則輸入信號在系統(tǒng)輸出衰減為f(0)*g(T)。

由于時間機器是源源不斷輸入新的信號的，所以輸出信號也將源源不斷地更新，最終系統(tǒng)輸出信號即是所有輸入信號的響應(yīng)疊加的結(jié)果。

圖2 t=T時刻系統(tǒng)輸出卷積疊加結(jié)果

在圖2中，因為時間到了T時刻，由于它是剛輸入的信號，f(T)時刻的輸出為f(T)*g(0)，f(9)是前一次剛輸入的信號，則輸出信號為f(T-1)*g(1),f(8)是再早些時間輸入的信號,所以其輸出是f(T-2)*g(2)，依此類推得到系統(tǒng)在t=T時刻，f(t)和g(t)卷積的結(jié)果。

圖3 卷積的卷的理解

從圖2上看，疊加過程看上去是擰在一起的，而其實一個重點就是，相對于T時刻的輸入來說，前面的輸入信號都相當于是歷史的輸入信號，我們將g(t)函數(shù)進行歷史的方向卷一下，即變?yōu)?/span>g(-t)，這樣就看起來順了一些。

圖4 卷積過程的平移

原來的響應(yīng)函數(shù)g(t)雖然卷了過來，但是實際意義還是體現(xiàn)的不夠合理，那么再將它平移T個單位，這也就是我們所要求的時刻的響應(yīng)，g(t)再變?yōu)?/span>g(T-t),那么當前的0時刻就是最新的輸入信號f(T)的響應(yīng)g(T),前一次的輸入，就是次新輸入信號f(T-1)的響應(yīng)g(T-1)，再前一次的輸入f(T-2),對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)是g(T-2)，所以卷積過程為f(T)*g(T)+f(T-1)*g(T-1)+f(T-2)*g(T-2)…f(0)*g(T-T).

所以，綜合理解就是，要想求出T時刻的卷積，即綜合疊加結(jié)果，必須要對T時刻的歷史輸入及響應(yīng)做疊加，所以卷的過程和平移的過程就是去追述歷史的過程，把當前時刻T作為起始，其它時刻都是歷史時刻，這樣通過歷史的輸入及響應(yīng)函數(shù)，就可以得到T時刻的系統(tǒng)響應(yīng)。

三.數(shù)字控制在DSP中的疊加過程

圖5 數(shù)字控制中信號轉(zhuǎn)換過程

圖5所示，是一個典型的數(shù)字控制電源的信號轉(zhuǎn)換示意圖，此系統(tǒng)給一個數(shù)字參考（用離散值表示），如左上角Vref(n)所示，和系統(tǒng)輸出的電壓Vout經(jīng)過數(shù)字化采樣即ADC采樣之后的結(jié)果（此ADC轉(zhuǎn)換結(jié)果為各個時刻的離散值）進行比較，產(chǎn)生誤差信號就作為數(shù)字補償器Hc(z)的輸入信號，數(shù)字補償器實際上可以理解為一個離散域的線性系統(tǒng)，輸入信號經(jīng)過它之后就可以產(chǎn)生一個新的控制信號，去對占空比產(chǎn)生相應(yīng)的更新動作。

圖6 新控制量的產(chǎn)生過程

這里以三型補償器為例說明，可以用來補償電壓模式控制BUCK電路。我們將（A1,A2,A3）,（B0,B1,B2,B3）認為是表達補償器特性的函數(shù)H1(n)，H2(n),而u(n)是新的控制量，u(n-1)是上一時刻的控制量，依此類推，e(n)為新的誤差，e(n-1)為上一時刻的誤差，依次類推。對于補償器系統(tǒng)來說，誤差量e(n)是系統(tǒng)輸入，隨著時間機器流轉(zhuǎn)，它會源源不斷輸入新的誤差，同時對于n時刻而言，除了e(n)也會累積若干舊的誤差，e(n-1),e(n-2)等，而控制量也會隨著時間的流逝，不斷累積舊的控制量u(n-1),u(n-2)等，而新的控制量u(n)的得出，是由歷史的誤差離散函數(shù)E（n）和歷史的控制量離散函數(shù)U（n）對補償器特性函數(shù)產(chǎn)生的疊加結(jié)果,這也可以看成一個H1(n)和U(n)={u(n-1),u(n-2),u(n-3)}做一次卷積，而同時H2(n)和E(n)={e(n),e(n-1),e(n-2),e(n-3)}做一次卷積，二者相加就得到最新的控制量u(n)，由此可以看出，新的控制量離不開歷史的控制量，歷史的誤差，及補償器的特性函數(shù)，它是這幾個因素疊加的結(jié)果。用到的歷史量越多，補償器的階數(shù)就會越高。

總結(jié)，本文以卷積為出發(fā)點，引申到數(shù)字控制的三型補償器（3P3Z)的新控制量的得出過程，即線性差分方程計算的過程，希望能夠幫助理解數(shù)字控制的執(zhí)行過程，后續(xù)我們會詳細探討電源的數(shù)字化過程。