前述文章討論了電壓模式BUCK和峰值電流模式BUCK的模擬環(huán)路補(bǔ)償器設(shè)計，針對相同的功率級電路，我們?nèi)绾稳崿F(xiàn)一個數(shù)字補(bǔ)償器的設(shè)計呢？本文就以此為主題，詳細(xì)探討這一設(shè)計過程。

一．?dāng)?shù)字化控制的典型過程分析

眾所周知，若要進(jìn)行數(shù)字化控制，首先需要將反饋量從模擬量變到數(shù)字量，所以必然需要對反饋量進(jìn)行ADC的轉(zhuǎn)化過程，如下我們給出了典型的電壓模式BUCK電路的數(shù)字化控制框圖，如圖1所示。

圖1 典型的BUCK電壓模式數(shù)字化控制框圖

在圖1中，除了對模擬反饋信號進(jìn)行數(shù)字化之外，由此和數(shù)字參考量相減得到的數(shù)字控制誤差，也需要一個數(shù)字補(bǔ)償器進(jìn)行控制，補(bǔ)償器輸出的數(shù)字結(jié)果，輸出給PWM外設(shè)，產(chǎn)生控制開關(guān)管的占空比信號，由此調(diào)整功率級輸出電壓實現(xiàn)穩(wěn)定。

圖2 典型的數(shù)字電源控制流程

進(jìn)一步的，我們通過一個更為細(xì)節(jié)的框圖來分析電源的數(shù)字化，如圖2所示。數(shù)字參考可以看成對應(yīng)于輸出反饋電壓采樣信號的離散的數(shù)字參考，它和ADC采樣的輸出電壓數(shù)字信號進(jìn)行相減，得到數(shù)字誤差由數(shù)字補(bǔ)償器去產(chǎn)生控制量，由于dsPIC33是基于定點運(yùn)算的控制芯片，所以只能通過整數(shù)的形式去表示小數(shù)，比如通過-32768到32767之間的整數(shù)去表示-1到0.999之間的小數(shù)，像如圖3所示的Q15格式小數(shù)，通過圖3中的Q15小數(shù)格式，我們可以求得其表達(dá)的實際小數(shù)值，注意在bit14和bit15之間有一個隱含的小數(shù)點，bit15是一個符號位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。

圖3 Q15格式的小數(shù)表示

為了實現(xiàn)補(bǔ)償器中任意實數(shù)的運(yùn)算，必須要進(jìn)行若干移位及反移位及縮放及反縮放操作，實現(xiàn)小數(shù)運(yùn)算的同時能不改變數(shù)值的表達(dá)的范圍，最終得到控制信號，如占空比等。關(guān)于補(bǔ)償器系數(shù)的移位縮放等過程，由于篇幅問題，本文暫不進(jìn)行討論，會放到后面進(jìn)行單獨討論。

圖4 數(shù)字化的補(bǔ)償器的輸入和輸出示例

在一個數(shù)字化的環(huán)路中，首先需要將反饋模擬信號，如輸出電壓進(jìn)行ADC采樣。假定我們設(shè)計2.48V為正常輸出電壓時的ADC輸入電壓，那么根據(jù)期望的輸出電壓3.3V,我們可以得到反饋分壓系數(shù)及電阻，對于一個參考電壓為3.3V的12bit ADC來說，3.3V代表4095，那么可以得到正常輸出時ADC電壓2.48V對應(yīng)于3076這個數(shù)字量，而輸出電壓變?yōu)?/span>3.31V時，對應(yīng)的ADC數(shù)字反饋為3085，那么此時就具有-9的數(shù)字誤差，經(jīng)過數(shù)字補(bǔ)償器調(diào)整，輸出一個計算的新的控制量為3968，直接賦值給PGDC（PWM的占空比數(shù)字值），對應(yīng)于周期為16000（250kHz，250ps分辨率），則表示新調(diào)整的占空比為24.8%。

二.連續(xù)域中模擬補(bǔ)償器的數(shù)字化

前述文章，閉環(huán)穩(wěn)定性判據(jù)的探討，我們詳細(xì)探討了開關(guān)電源閉環(huán)穩(wěn)定的條件，中間提到通過分析環(huán)路開環(huán)增益?zhèn)鬟f函數(shù)的特性從而判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。如圖5中，根據(jù)信號傳輸基本關(guān)系很容易推導(dǎo)出所示的輸入?yún)⒖茧妷旱捷敵鲭妷旱拈]環(huán)頻域傳遞函數(shù)，由此得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)*H(s).

圖5 閉環(huán)穩(wěn)定性分析

在模擬領(lǐng)域，由閉環(huán)穩(wěn)定性的設(shè)計要求，對于CCM電壓模式BUCK電路這樣的二階系統(tǒng)，我們可以設(shè)計出一個模擬的三型補(bǔ)償器，用于其閉環(huán)控制，如圖6所示。模擬域的電壓模式BUCK控制環(huán)路設(shè)計，請參考前述文章，BUCK電路電壓模式CCM環(huán)路補(bǔ)償設(shè)計及仿真，

圖6 用于電壓模式控制的模擬三型補(bǔ)償器

實際應(yīng)用中，我們會推薦使用現(xiàn)有的模擬補(bǔ)償器，然后對它再進(jìn)行數(shù)字化，一般來說我們會選擇雙線性變換（BLT)的z變換方式，將s域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為z域傳遞函數(shù)，如圖7所示，換算算子如圖中黃色框內(nèi)所示，其中Ts為我們的數(shù)字化采樣間隔周期。

圖7 雙線性變換轉(zhuǎn)換關(guān)系

這里我們復(fù)習(xí)一些關(guān)于s域到z域變換的背景知識，眾所周知，s變換是進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行頻率響應(yīng)分析的常用方法，在前述文章中多次使用，而z變換是針對離散系統(tǒng)離散序列進(jìn)行變換的一種常用方式，它是分析離散系統(tǒng)的重要工具。

圖8 s平面和z平面的對應(yīng)關(guān)系

從圖8所示來看，如果定義，

,所以我們可知在z平面上，原有量s對應(yīng)的z的模是

,而z的幅角為

。由上述關(guān)系我們可以知道，s平面的虛軸對應(yīng)于z平面的單位圓（此時s的實部為0，z的模是1），而當(dāng)s平面的左半平面對應(yīng)z平面的單位圓內(nèi)（z的實部為小于0時，z的模為小于1），而s的右半平面對應(yīng)z平面的單位圓外（s的實部為大于0，z的模大于1）.

一個在s域穩(wěn)定收斂的系統(tǒng)，一般其傳遞函數(shù)的極點都在左半平面時，而在z域中收斂的系統(tǒng)，其z傳遞函數(shù)的極點在單位圓內(nèi)。而雙線性變換正是將復(fù)平面s的左半平面一一映射到z平面的單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征得以保留，這在低于系統(tǒng)奈奎斯特頻率（1/2的采樣頻率fs，一般采樣頻率設(shè)為電源的開關(guān)頻率）時，經(jīng)過映射的系統(tǒng)的增益和相位和原有系統(tǒng)非常一致，所以我們采用雙線性變換進(jìn)行模擬補(bǔ)償器的數(shù)字化。

圖9 s平面到z平面的映射

如圖9中，等式左側(cè)綠色區(qū)域是模擬補(bǔ)償器在s連續(xù)域的拉普拉斯變換傳遞函數(shù)，而右側(cè)綠色區(qū)域是經(jīng)過雙線性變換（BLT）后的z傳遞函數(shù)，從圖上可知二者的關(guān)系。

三.離散域線性差分方程的推導(dǎo)

接下來，我們詳細(xì)討論一下線性差分方程的推導(dǎo)過程，如下圖10所示，將z變換算子帶入s域傳遞函數(shù)中，也就是前面說的三型補(bǔ)償器。

圖9 z變換推導(dǎo)過程1

圖10 z變換推導(dǎo)過程2

通過數(shù)學(xué)工具可以對圖9中的表達(dá)式整理成為圖10所示的形式，不過，此時它還不滿足我們的標(biāo)準(zhǔn)線性差分方程形式。

圖11 z變換推導(dǎo)過程3

將所有z的表達(dá)式在時間線上往前移動三拍，這樣就把未來的時間的采樣，變?yōu)檫^去時間的采樣，便于數(shù)字控制器處理，如圖11所示。

圖12 z變換推導(dǎo)過程4

然后，對比標(biāo)準(zhǔn)的線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式知，A0系數(shù)必須要是1，所以我們需要對圖11中的結(jié)果分子和分母同時除以原有A0,即，

之后就得到了圖12中的結(jié)果，此處非常需要注意的是，提取A1,A2,A3的值時，一定要考慮到標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中A1,A2,A3前面的負(fù)號。

圖13 z變換推導(dǎo)過程5

圖14 線性差分方程推導(dǎo)結(jié)果

經(jīng)過對z變換的結(jié)果如圖14中的y[z]/x[z]等式進(jìn)行對角相乘即可以得到下面的yn的線性差分方程沿時間線的表達(dá)式，這個表達(dá)式非常容易在數(shù)字控制芯片dsPIC33中的DSP上執(zhí)行。

對于數(shù)字化的線性差分方程，由于它不像模擬域中需要采用具體的電阻電容去實現(xiàn)，由此帶來的零極點頻率的相互關(guān)聯(lián)性。在數(shù)字域中的差分方程，有非常多的優(yōu)勢，比如，它可以使用更高的階次去實現(xiàn)更優(yōu)的性能，并且零極點之間相互獨立，且可以精準(zhǔn)設(shè)置，且零極點不受溫度或者器件精度容差及老化等的影響，所以有更廣泛的應(yīng)用。

四．模擬補(bǔ)償器數(shù)字化的實際示例

接下來，我們就通過我們的開發(fā)工具MPLAB®PowerSmart? Development Suite DCLD進(jìn)行模擬補(bǔ)償器的數(shù)字化，然后通過Mathcad對系數(shù)進(jìn)行計算，來驗證工具計算的準(zhǔn)確性。

圖15 DCLD中零極點設(shè)置

在圖15中，根據(jù)事先計算或者其它方式得到的BUCK電路電壓模式CCM時功率級傳遞函數(shù)，來確定補(bǔ)償器零極點設(shè)置，此處由于是電壓模式BUCK電路在CCM模式工作下，所以采用數(shù)字域的三型補(bǔ)償器3P3Z來設(shè)計環(huán)路，同時采用Q15格式計算方式，ADC為12bit精度，且我們對其進(jìn)行歸一化處理，如圖16設(shè)置其輸入增益。

圖16 DCLD輸入增益計算

根據(jù)我們DPSK3 demo板的硬件電路，如圖17所示，我們設(shè)置R1,R2分別為1k，因此反饋信號輸入增益為0.5,此處ADC的參考電壓為AVDD 3.3V,ADC的精度為12bit，最大值為4095.

圖17 BUCK電路輸出電壓采樣硬件電路

我們根據(jù)對功率級電路的計算傳遞函數(shù)結(jié)果,進(jìn)補(bǔ)償器的零極點設(shè)置，由于開關(guān)頻率為500k，這里我們設(shè)置零頻率極點為600Hz，第一個極點75k，用于抵消ESR零點的作用，而第二個極點200k為了讓奈奎斯特頻率以上的頻率進(jìn)行衰減，兩個零點設(shè)為2k，4k用于對BUCK電路功率級LC振蕩二階極點進(jìn)行抵消，其中將第一個零點設(shè)的靠前一些用于適當(dāng)提高相位減小零頻率處極點對相位的衰減。

圖18 通過DCLD設(shè)計的數(shù)字補(bǔ)償器Bode圖

填入零極點及其它參數(shù)后，在圖18中DCLD就自動給出了數(shù)字補(bǔ)償器的Bode圖，用戶可以和設(shè)置的零極點對照確認(rèn)。

圖19 通過DCLD設(shè)計的數(shù)字補(bǔ)償器的A和B系數(shù)（考慮反饋增益）

由于此處得到的A,B系數(shù)是事先考慮了輸入給ADC的反饋增益0.5的，若不考慮輸入誤差增益，則得到的A,B系數(shù)如圖20.

圖20 通過DCLD設(shè)計的數(shù)字補(bǔ)償器的A和B系數(shù)（未考慮誤差增益）

從圖20可知，由于誤差增益為0.5，則當(dāng)未考慮反饋誤差增益時，由于線性差分方程中僅僅B系數(shù)和誤差相乘，所以B系數(shù)調(diào)整為原來的一半，以此保持環(huán)路的增益不變。

再對這個A,B系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)值變換就可以在dsPIC33中執(zhí)行，由于篇幅關(guān)系，本文暫不討論如何對任意的實數(shù)系數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步變換，此內(nèi)容放到后面去討論。

五．計算驗證模擬補(bǔ)償器數(shù)字化的AB系數(shù)

圖21 數(shù)字補(bǔ)償器零極點頻率定義

在圖21中，根據(jù)功率級的傳遞函數(shù)的計算或者測量結(jié)果，我們給出了典型三型補(bǔ)償器的零極點頻率設(shè)計值，此處采樣間隔為2u，對應(yīng)500k的開關(guān)頻率（采樣頻率）。

圖22 三型數(shù)字補(bǔ)償器A系數(shù)的計算

根據(jù)我們由雙線性變換得到的A系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式，我們計算得到相應(yīng)的實際小數(shù)值，如圖22所示。

圖23 三型數(shù)字補(bǔ)償器B系數(shù)的計算

同樣的，我們根據(jù)由雙線性變換得到的標(biāo)準(zhǔn)B系數(shù)表達(dá)式，求得B系數(shù)實際的數(shù)值，注意此處計算未考慮輸出誤差增益，即輸出分壓電阻造成的增益變化，因此計算所得到的B系數(shù)和圖20一致，在實際電路中，因為輸出進(jìn)行了1/2分壓，所以應(yīng)該將B系數(shù)增加為兩倍，和圖19一致，以確保整體增益不變，由此可以看出我們通過DCLD得到的A,B系數(shù)和Mathcad計算完全一致。

總結(jié)，本文通過說明模擬環(huán)路補(bǔ)償器數(shù)字化的基本過程，進(jìn)而從理論上探討了連續(xù)域模擬補(bǔ)償器的數(shù)字化方法，最終通過實際的推導(dǎo)得到了用于電壓模式BUCK控制的z域傳遞函數(shù)。同時演示了通過我們的dsPIC33環(huán)路開發(fā)工具Power Smart DCLD 得到所設(shè)計的數(shù)字補(bǔ)償器的A，B系數(shù)，為了驗證DCLD的結(jié)果，我們進(jìn)行了Mathca的計算，從得到的結(jié)果來看，二者得到的A,B系數(shù)完全一致。