前述文章討論了電壓模式BUCK和峰值電流模式BUCK的模擬環(huán)路補償器設計，針對相同的功率級電路，我們?nèi)绾稳崿F(xiàn)一個數(shù)字補償器的設計呢？本文就以此為主題，詳細探討這一設計過程。

一．數(shù)字化控制的典型過程分析

眾所周知，若要進行數(shù)字化控制，首先需要將反饋量從模擬量變到數(shù)字量，所以必然需要對反饋量進行ADC的轉(zhuǎn)化過程，如下我們給出了典型的電壓模式BUCK電路的數(shù)字化控制框圖，如圖1所示。

圖1 典型的BUCK電壓模式數(shù)字化控制框圖

在圖1中，除了對模擬反饋信號進行數(shù)字化之外，由此和數(shù)字參考量相減得到的數(shù)字控制誤差，也需要一個數(shù)字補償器進行控制，補償器輸出的數(shù)字結(jié)果，輸出給PWM外設，產(chǎn)生控制開關管的占空比信號，由此調(diào)整功率級輸出電壓實現(xiàn)穩(wěn)定。

圖2 典型的數(shù)字電源控制流程

進一步的，我們通過一個更為細節(jié)的框圖來分析電源的數(shù)字化，如圖2所示。數(shù)字參考可以看成對應于輸出反饋電壓采樣信號的離散的數(shù)字參考，它和ADC采樣的輸出電壓數(shù)字信號進行相減，得到數(shù)字誤差由數(shù)字補償器去產(chǎn)生控制量，由于dsPIC33是基于定點運算的控制芯片，所以只能通過整數(shù)的形式去表示小數(shù)，比如通過-32768到32767之間的整數(shù)去表示-1到0.999之間的小數(shù)，像如圖3所示的Q15格式小數(shù)，通過圖3中的Q15小數(shù)格式，我們可以求得其表達的實際小數(shù)值，注意在bit14和bit15之間有一個隱含的小數(shù)點，bit15是一個符號位，0表示正數(shù)，1表示負數(shù)。

圖3 Q15格式的小數(shù)表示

為了實現(xiàn)補償器中任意實數(shù)的運算，必須要進行若干移位及反移位及縮放及反縮放操作，實現(xiàn)小數(shù)運算的同時能不改變數(shù)值的表達的范圍，最終得到控制信號，如占空比等。關于補償器系數(shù)的移位縮放等過程，由于篇幅問題，本文暫不進行討論，會放到后面進行單獨討論。

圖4 數(shù)字化的補償器的輸入和輸出示例

在一個數(shù)字化的環(huán)路中，首先需要將反饋模擬信號，如輸出電壓進行ADC采樣。假定我們設計2.48V為正常輸出電壓時的ADC輸入電壓，那么根據(jù)期望的輸出電壓3.3V,我們可以得到反饋分壓系數(shù)及電阻，對于一個參考電壓為3.3V的12bit ADC來說，3.3V代表4095，那么可以得到正常輸出時ADC電壓2.48V對應于3076這個數(shù)字量，而輸出電壓變?yōu)?/span>3.31V時，對應的ADC數(shù)字反饋為3085，那么此時就具有-9的數(shù)字誤差，經(jīng)過數(shù)字補償器調(diào)整，輸出一個計算的新的控制量為3968，直接賦值給PGDC（PWM的占空比數(shù)字值），對應于周期為16000（250kHz，250ps分辨率），則表示新調(diào)整的占空比為24.8%。

二.連續(xù)域中模擬補償器的數(shù)字化

前述文章，閉環(huán)穩(wěn)定性判據(jù)的探討，我們詳細探討了開關電源閉環(huán)穩(wěn)定的條件，中間提到通過分析環(huán)路開環(huán)增益?zhèn)鬟f函數(shù)的特性從而判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。如圖5中，根據(jù)信號傳輸基本關系很容易推導出所示的輸入?yún)⒖茧妷旱捷敵鲭妷旱拈]環(huán)頻域傳遞函數(shù)，由此得到系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)*H(s).

圖5 閉環(huán)穩(wěn)定性分析

在模擬領域，由閉環(huán)穩(wěn)定性的設計要求，對于CCM電壓模式BUCK電路這樣的二階系統(tǒng)，我們可以設計出一個模擬的三型補償器，用于其閉環(huán)控制，如圖6所示。模擬域的電壓模式BUCK控制環(huán)路設計，請參考前述文章，BUCK電路電壓模式CCM環(huán)路補償設計及仿真，

圖6 用于電壓模式控制的模擬三型補償器

實際應用中，我們會推薦使用現(xiàn)有的模擬補償器，然后對它再進行數(shù)字化，一般來說我們會選擇雙線性變換（BLT)的z變換方式，將s域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為z域傳遞函數(shù)，如圖7所示，換算算子如圖中黃色框內(nèi)所示，其中Ts為我們的數(shù)字化采樣間隔周期。

圖7 雙線性變換轉(zhuǎn)換關系

這里我們復習一些關于s域到z域變換的背景知識，眾所周知，s變換是進行連續(xù)系統(tǒng)進行頻率響應分析的常用方法，在前述文章中多次使用，而z變換是針對離散系統(tǒng)離散序列進行變換的一種常用方式，它是分析離散系統(tǒng)的重要工具。

圖8 s平面和z平面的對應關系

從圖8所示來看，如果定義，

,所以我們可知在z平面上，原有量s對應的z的模是

,而z的幅角為

。由上述關系我們可以知道，s平面的虛軸對應于z平面的單位圓（此時s的實部為0，z的模是1），而當s平面的左半平面對應z平面的單位圓內(nèi)（z的實部為小于0時，z的模為小于1），而s的右半平面對應z平面的單位圓外（s的實部為大于0，z的模大于1）.

一個在s域穩(wěn)定收斂的系統(tǒng)，一般其傳遞函數(shù)的極點都在左半平面時，而在z域中收斂的系統(tǒng)，其z傳遞函數(shù)的極點在單位圓內(nèi)。而雙線性變換正是將復平面s的左半平面一一映射到z平面的單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性特征得以保留，這在低于系統(tǒng)奈奎斯特頻率（1/2的采樣頻率fs，一般采樣頻率設為電源的開關頻率）時，經(jīng)過映射的系統(tǒng)的增益和相位和原有系統(tǒng)非常一致，所以我們采用雙線性變換進行模擬補償器的數(shù)字化。

圖9 s平面到z平面的映射

如圖9中，等式左側(cè)綠色區(qū)域是模擬補償器在s連續(xù)域的拉普拉斯變換傳遞函數(shù)，而右側(cè)綠色區(qū)域是經(jīng)過雙線性變換（BLT）后的z傳遞函數(shù)，從圖上可知二者的關系。

三.離散域線性差分方程的推導

接下來，我們詳細討論一下線性差分方程的推導過程，如下圖10所示，將z變換算子帶入s域傳遞函數(shù)中，也就是前面說的三型補償器。

圖9 z變換推導過程1

圖10 z變換推導過程2

通過數(shù)學工具可以對圖9中的表達式整理成為圖10所示的形式，不過，此時它還不滿足我們的標準線性差分方程形式。

圖11 z變換推導過程3

將所有z的表達式在時間線上往前移動三拍，這樣就把未來的時間的采樣，變?yōu)檫^去時間的采樣，便于數(shù)字控制器處理，如圖11所示。

圖12 z變換推導過程4

然后，對比標準的線性差分方程的標準表達式知，A0系數(shù)必須要是1，所以我們需要對圖11中的結(jié)果分子和分母同時除以原有A0,即，

之后就得到了圖12中的結(jié)果，此處非常需要注意的是，提取A1,A2,A3的值時，一定要考慮到標準表達式中A1,A2,A3前面的負號。

圖13 z變換推導過程5

圖14 線性差分方程推導結(jié)果

經(jīng)過對z變換的結(jié)果如圖14中的y[z]/x[z]等式進行對角相乘即可以得到下面的yn的線性差分方程沿時間線的表達式，這個表達式非常容易在數(shù)字控制芯片dsPIC33中的DSP上執(zhí)行。

對于數(shù)字化的線性差分方程，由于它不像模擬域中需要采用具體的電阻電容去實現(xiàn)，由此帶來的零極點頻率的相互關聯(lián)性。在數(shù)字域中的差分方程，有非常多的優(yōu)勢，比如，它可以使用更高的階次去實現(xiàn)更優(yōu)的性能，并且零極點之間相互獨立，且可以精準設置，且零極點不受溫度或者器件精度容差及老化等的影響，所以有更廣泛的應用。

四．模擬補償器數(shù)字化的實際示例

接下來，我們就通過我們的開發(fā)工具MPLAB®PowerSmart? Development Suite DCLD進行模擬補償器的數(shù)字化，然后通過Mathcad對系數(shù)進行計算，來驗證工具計算的準確性。

圖15 DCLD中零極點設置

在圖15中，根據(jù)事先計算或者其它方式得到的BUCK電路電壓模式CCM時功率級傳遞函數(shù)，來確定補償器零極點設置，此處由于是電壓模式BUCK電路在CCM模式工作下，所以采用數(shù)字域的三型補償器3P3Z來設計環(huán)路，同時采用Q15格式計算方式，ADC為12bit精度，且我們對其進行歸一化處理，如圖16設置其輸入增益。

圖16 DCLD輸入增益計算

根據(jù)我們DPSK3 demo板的硬件電路，如圖17所示，我們設置R1,R2分別為1k，因此反饋信號輸入增益為0.5,此處ADC的參考電壓為AVDD 3.3V,ADC的精度為12bit，最大值為4095.

圖17 BUCK電路輸出電壓采樣硬件電路

我們根據(jù)對功率級電路的計算傳遞函數(shù)結(jié)果,進補償器的零極點設置，由于開關頻率為500k，這里我們設置零頻率極點為600Hz，第一個極點75k，用于抵消ESR零點的作用，而第二個極點200k為了讓奈奎斯特頻率以上的頻率進行衰減，兩個零點設為2k，4k用于對BUCK電路功率級LC振蕩二階極點進行抵消，其中將第一個零點設的靠前一些用于適當提高相位減小零頻率處極點對相位的衰減。

圖18 通過DCLD設計的數(shù)字補償器Bode圖

填入零極點及其它參數(shù)后，在圖18中DCLD就自動給出了數(shù)字補償器的Bode圖，用戶可以和設置的零極點對照確認。

圖19 通過DCLD設計的數(shù)字補償器的A和B系數(shù)（考慮反饋增益）

由于此處得到的A,B系數(shù)是事先考慮了輸入給ADC的反饋增益0.5的，若不考慮輸入誤差增益，則得到的A,B系數(shù)如圖20.

圖20 通過DCLD設計的數(shù)字補償器的A和B系數(shù)（未考慮誤差增益）

從圖20可知，由于誤差增益為0.5，則當未考慮反饋誤差增益時，由于線性差分方程中僅僅B系數(shù)和誤差相乘，所以B系數(shù)調(diào)整為原來的一半，以此保持環(huán)路的增益不變。

再對這個A,B系數(shù)進行適當?shù)臄?shù)值變換就可以在dsPIC33中執(zhí)行，由于篇幅關系，本文暫不討論如何對任意的實數(shù)系數(shù)進行進一步變換，此內(nèi)容放到后面去討論。

五．計算驗證模擬補償器數(shù)字化的AB系數(shù)

圖21 數(shù)字補償器零極點頻率定義

在圖21中，根據(jù)功率級的傳遞函數(shù)的計算或者測量結(jié)果，我們給出了典型三型補償器的零極點頻率設計值，此處采樣間隔為2u，對應500k的開關頻率（采樣頻率）。

圖22 三型數(shù)字補償器A系數(shù)的計算

根據(jù)我們由雙線性變換得到的A系數(shù)標準表達式，我們計算得到相應的實際小數(shù)值，如圖22所示。

圖23 三型數(shù)字補償器B系數(shù)的計算

同樣的，我們根據(jù)由雙線性變換得到的標準B系數(shù)表達式，求得B系數(shù)實際的數(shù)值，注意此處計算未考慮輸出誤差增益，即輸出分壓電阻造成的增益變化，因此計算所得到的B系數(shù)和圖20一致，在實際電路中，因為輸出進行了1/2分壓，所以應該將B系數(shù)增加為兩倍，和圖19一致，以確保整體增益不變，由此可以看出我們通過DCLD得到的A,B系數(shù)和Mathcad計算完全一致。

總結(jié)，本文通過說明模擬環(huán)路補償器數(shù)字化的基本過程，進而從理論上探討了連續(xù)域模擬補償器的數(shù)字化方法，最終通過實際的推導得到了用于電壓模式BUCK控制的z域傳遞函數(shù)。同時演示了通過我們的dsPIC33環(huán)路開發(fā)工具Power Smart DCLD 得到所設計的數(shù)字補償器的A，B系數(shù)，為了驗證DCLD的結(jié)果，我們進行了Mathca的計算，從得到的結(jié)果來看，二者得到的A,B系數(shù)完全一致。