摘要：文章從數(shù)學上分析了運算放大器的有限增益帶寬積對active-RC濾波器Q值的影響，得出了濾波器Q值升高的結(jié)論，并且研究了濾波器Q值升高的補償方法。我們對5階低通濾波器的Biquad引入補償電容Cm的前后進行仿真對比，發(fā)現(xiàn)補償電容Cm會使濾波器的Q值降低，并抵消由于運放有限增益帶寬積帶來的影響。
關(guān)鍵詞：運算放大器；增益帶寬積；active-RC濾波器；Q值

0 引言
    隨著集成電路工藝的飛速發(fā)展，采用CMOS技術(shù)設(shè)計射頻接收機變成現(xiàn)實，我們已經(jīng)進入射頻CMOS時代。在射頻接收機中，信道選擇濾波器的主要作用是從許多信道中選出我們需要的那個信道，然后把鄰近信道信號和其它的帶外干擾過濾掉。信道選擇濾波器對線性度的要求非常高，通常Gm-C濾波器很難滿足其線性度的要求，active-RC濾波器是基于運放的負反饋應(yīng)用，它的線性度很高，所以active-RC濾波器最適合做信道選擇濾波器。運放是active-RC濾波器中的關(guān)鍵模塊，濾波器的帶寬越寬，Q值越高，對運放的增益帶寬積(GBW)的要求也就越高，濾波器的性能通常受限于運放的GBW。運放的有限GBW對active-RC濾波器的最主要影響是使其Q值升高，關(guān)于這方面的經(jīng)驗性結(jié)論多，具體的數(shù)學分析卻很少。本文從數(shù)學上來分析運放的有限GBW對濾波器Q值的影響，推導(dǎo)出具體公式，并且研究其補償方法。

1 運放的有限GBW對active-RC濾波器Q值的影響

    圖1(a)是active-RC積分器，它是濾波器中基本的單元模塊，其理想傳輸函數(shù)為式(1)：
   
    積分器的理想品質(zhì)因子Qint,ideal→∞，相位φint,ideal=-π／2。 實際上運放的有限GBW影響其傳輸函數(shù)，我們把運放近似為一個單極點系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)為式(2)：
   
    Wamp是運放的主極點，WGBW是運放的增益帶寬積。在我們感興趣的頻率范圍內(nèi)，運放的傳輸函數(shù)可以簡化為式(3)：
   
    考慮到運放的有限GBW，通常WGBW>>1／R1C1，積分器的實際傳輸函數(shù)為式(4)：
   
    圖1(b)是一階Active-RC濾波器，它同樣是濾波器中基本的單元模塊，其理想傳輸函數(shù)為式(7)：

    從式(12)可以得出，一階濾波器的實際Q值會由于運放的有限GBW而升高。

    在分析了active-RC濾波器中的一階單元模塊的基礎(chǔ)上，我們接下來分析濾波器的二階單元模塊Biquad，Biquad是濾波器中最基本的二階模塊。圖2是Two-Thomas Biquad電路，我們采用的Two-Thomas Biquad是一種非常靈活可調(diào)的Biquad電路結(jié)構(gòu)，它的靈敏度低，其理想傳輸函數(shù)為式(13)：


    從式(17)可以得出，Biquad的Q值同樣會因為運放的有限GBW而升高。以上是針對一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)推導(dǎo)的，對于級聯(lián)的高階系統(tǒng)完全可以依次類推。根據(jù)式(12)和(17)，為了使運放的有限GBW對濾波器Q值影響比較小，則WGBW必須遠遠大于Q*wp。

    為了驗證前面的理論分析，我們對一個5階active-RC低通濾波器進行仿真，在不同的運放GBW下的頻率響應(yīng)如圖3所示。這個濾波器的LCR原型是5階Chebyshev I型低通濾波器，帶寬是19．7MHz，帶內(nèi)紋波0．1dB。從圖3可以看出，運放的GBW越寬，active-RC濾波器的實際頻率響應(yīng)與理想的LCR原型濾波器越接近；運放的GBW越窄，active-RC濾波器的實際Q值越高，越偏離濾波器的理想特性。同時可以看出，要使濾波器的實際頻率響應(yīng)接近LCR原型的頻率響應(yīng)，所需的運放GBW很大，這在具體電路設(shè)計上難以實現(xiàn)，并且消耗的電流也太大。

2 針對active-RC濾波器Q值升高的補償方法
    從前面的分析得出，如果要使濾波器的頻率響應(yīng)接近LCR原型的話，所需運放的GBW很大，甚至不現(xiàn)實。所以我們就必須研究其補償方法，讓濾波器的Q值降低，與理想的LCR原型接近。對比式(15)和式(16)，可以看出由于運放的有限GBW使Two-Thomas Biquad產(chǎn)生了額外的相位-2wp／WGBW，這個額外的相位為式(18)：
   
    從式(18)看出，這是一個相位滯后，因此我們必須引入一個超前的相位來補償。在圖4中引入電容Cm對active-RC濾波器的Biquad進行相位超前補償，其超前的相位為式(19)：
   

    對比式(18)和式(19)，如果選擇l／R4*Cm=WGBW／2，則由運放的有限GBW引入的滯后相位和補償電容Cm引入的超前相位可以相互抵消，避免濾波器Q值升高，減小對運放GBW和功耗的要求。圖5是在相同的運放GBW的情況下，在一個5階低通濾波器的Biquad引入補償電容Cm前后的仿真對比，從圖中可以看出，補償電容Cm使濾波器的Q值降低，抵消由于運放有限GBW帶來的影響。在實際的電路設(shè)計中由于要保證濾波器具有一定的線性度和穩(wěn)定性，運放的帶寬不能太小，通常選擇運放的GBW為濾波器Q*wp的10倍左右。

4 結(jié)論
    通過分析運放的有限GBW對active-RC濾波器Q值的影響，我們找到了針對濾波器Q值升高的補償方法。在相同的運放GBW的情況下，對5階低通濾波器的Biquad引入補償電容Cm的前后進行仿真對比，發(fā)現(xiàn)補償電容Cm會使濾波器的Q值降低，并抵消由于運放有限GBW帶來的影響。在實際的電路設(shè)計中由于要保證濾波器具有一定的線性度和穩(wěn)定性，運放的帶寬不能太小，通常選擇運放的GBW為濾波器Q*wp的10倍左右。