摘要：文章從數(shù)學(xué)上分析了運(yùn)算放大器的有限增益帶寬積對(duì)active-RC濾波器Q值的影響，得出了濾波器Q值升高的結(jié)論，并且研究了濾波器Q值升高的補(bǔ)償方法。我們對(duì)5階低通濾波器的Biquad引入補(bǔ)償電容Cm的前后進(jìn)行仿真對(duì)比，發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償電容Cm會(huì)使濾波器的Q值降低，并抵消由于運(yùn)放有限增益帶寬積帶來的影響。
關(guān)鍵詞：運(yùn)算放大器；增益帶寬積；active-RC濾波器；Q值

0 引言
    隨著集成電路工藝的飛速發(fā)展，采用CMOS技術(shù)設(shè)計(jì)射頻接收機(jī)變成現(xiàn)實(shí)，我們已經(jīng)進(jìn)入射頻CMOS時(shí)代。在射頻接收機(jī)中，信道選擇濾波器的主要作用是從許多信道中選出我們需要的那個(gè)信道，然后把鄰近信道信號(hào)和其它的帶外干擾過濾掉。信道選擇濾波器對(duì)線性度的要求非常高，通常Gm-C濾波器很難滿足其線性度的要求，active-RC濾波器是基于運(yùn)放的負(fù)反饋應(yīng)用，它的線性度很高，所以active-RC濾波器最適合做信道選擇濾波器。運(yùn)放是active-RC濾波器中的關(guān)鍵模塊，濾波器的帶寬越寬，Q值越高，對(duì)運(yùn)放的增益帶寬積(GBW)的要求也就越高，濾波器的性能通常受限于運(yùn)放的GBW。運(yùn)放的有限GBW對(duì)active-RC濾波器的最主要影響是使其Q值升高，關(guān)于這方面的經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論多，具體的數(shù)學(xué)分析卻很少。本文從數(shù)學(xué)上來分析運(yùn)放的有限GBW對(duì)濾波器Q值的影響，推導(dǎo)出具體公式，并且研究其補(bǔ)償方法。

1 運(yùn)放的有限GBW對(duì)active-RC濾波器Q值的影響

    圖1(a)是active-RC積分器，它是濾波器中基本的單元模塊，其理想傳輸函數(shù)為式(1)：
   
    積分器的理想品質(zhì)因子Qint,ideal→∞，相位φint,ideal=-π／2。 實(shí)際上運(yùn)放的有限GBW影響其傳輸函數(shù)，我們把運(yùn)放近似為一個(gè)單極點(diǎn)系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)為式(2)：
   
    Wamp是運(yùn)放的主極點(diǎn)，WGBW是運(yùn)放的增益帶寬積。在我們感興趣的頻率范圍內(nèi)，運(yùn)放的傳輸函數(shù)可以簡(jiǎn)化為式(3)：
   
    考慮到運(yùn)放的有限GBW，通常WGBW>>1／R1C1，積分器的實(shí)際傳輸函數(shù)為式(4)：
   
    圖1(b)是一階Active-RC濾波器，它同樣是濾波器中基本的單元模塊，其理想傳輸函數(shù)為式(7)：

    從式(12)可以得出，一階濾波器的實(shí)際Q值會(huì)由于運(yùn)放的有限GBW而升高。

    在分析了active-RC濾波器中的一階單元模塊的基礎(chǔ)上，我們接下來分析濾波器的二階單元模塊Biquad，Biquad是濾波器中最基本的二階模塊。圖2是Two-Thomas Biquad電路，我們采用的Two-Thomas Biquad是一種非常靈活可調(diào)的Biquad電路結(jié)構(gòu)，它的靈敏度低，其理想傳輸函數(shù)為式(13)：


    從式(17)可以得出，Biquad的Q值同樣會(huì)因?yàn)檫\(yùn)放的有限GBW而升高。以上是針對(duì)一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)推導(dǎo)的，對(duì)于級(jí)聯(lián)的高階系統(tǒng)完全可以依次類推。根據(jù)式(12)和(17)，為了使運(yùn)放的有限GBW對(duì)濾波器Q值影響比較小，則WGBW必須遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于Q*wp。

    為了驗(yàn)證前面的理論分析，我們對(duì)一個(gè)5階active-RC低通濾波器進(jìn)行仿真，在不同的運(yùn)放GBW下的頻率響應(yīng)如圖3所示。這個(gè)濾波器的LCR原型是5階Chebyshev I型低通濾波器，帶寬是19．7MHz，帶內(nèi)紋波0．1dB。從圖3可以看出，運(yùn)放的GBW越寬，active-RC濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)與理想的LCR原型濾波器越接近；運(yùn)放的GBW越窄，active-RC濾波器的實(shí)際Q值越高，越偏離濾波器的理想特性。同時(shí)可以看出，要使濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)接近LCR原型的頻率響應(yīng)，所需的運(yùn)放GBW很大，這在具體電路設(shè)計(jì)上難以實(shí)現(xiàn)，并且消耗的電流也太大。

2 針對(duì)active-RC濾波器Q值升高的補(bǔ)償方法
    從前面的分析得出，如果要使濾波器的頻率響應(yīng)接近LCR原型的話，所需運(yùn)放的GBW很大，甚至不現(xiàn)實(shí)。所以我們就必須研究其補(bǔ)償方法，讓濾波器的Q值降低，與理想的LCR原型接近。對(duì)比式(15)和式(16)，可以看出由于運(yùn)放的有限GBW使Two-Thomas Biquad產(chǎn)生了額外的相位-2wp／WGBW，這個(gè)額外的相位為式(18)：
   
    從式(18)看出，這是一個(gè)相位滯后，因此我們必須引入一個(gè)超前的相位來補(bǔ)償。在圖4中引入電容Cm對(duì)active-RC濾波器的Biquad進(jìn)行相位超前補(bǔ)償，其超前的相位為式(19)：
   

    對(duì)比式(18)和式(19)，如果選擇l／R4*Cm=WGBW／2，則由運(yùn)放的有限GBW引入的滯后相位和補(bǔ)償電容Cm引入的超前相位可以相互抵消，避免濾波器Q值升高，減小對(duì)運(yùn)放GBW和功耗的要求。圖5是在相同的運(yùn)放GBW的情況下，在一個(gè)5階低通濾波器的Biquad引入補(bǔ)償電容Cm前后的仿真對(duì)比，從圖中可以看出，補(bǔ)償電容Cm使濾波器的Q值降低，抵消由于運(yùn)放有限GBW帶來的影響。在實(shí)際的電路設(shè)計(jì)中由于要保證濾波器具有一定的線性度和穩(wěn)定性，運(yùn)放的帶寬不能太小，通常選擇運(yùn)放的GBW為濾波器Q*wp的10倍左右。

4 結(jié)論
    通過分析運(yùn)放的有限GBW對(duì)active-RC濾波器Q值的影響，我們找到了針對(duì)濾波器Q值升高的補(bǔ)償方法。在相同的運(yùn)放GBW的情況下，對(duì)5階低通濾波器的Biquad引入補(bǔ)償電容Cm的前后進(jìn)行仿真對(duì)比，發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償電容Cm會(huì)使濾波器的Q值降低，并抵消由于運(yùn)放有限GBW帶來的影響。在實(shí)際的電路設(shè)計(jì)中由于要保證濾波器具有一定的線性度和穩(wěn)定性，運(yùn)放的帶寬不能太小，通常選擇運(yùn)放的GBW為濾波器Q*wp的10倍左右。