引 言
各種集成化單片數(shù)字信號處理器(DSP)以其功能強、集成度高、應(yīng)用靈活、性價比高等優(yōu)點，在信號處理和系統(tǒng)控制中的主導(dǎo)性地位日益明顯。許多信號處理和控制需要運用除法運算。一般的數(shù)字信號處理器中沒有現(xiàn)成的除法指令。十多年前誕生的浮點DSP，由于其用硬件完成浮點數(shù)的運算，在數(shù)據(jù)處理和運算能力上大大超出定點DSP，處理除法運算也比定點DSP更為簡單。但是定點DSP每器件產(chǎn)品的價格更低，這對大規(guī)模的大眾市場應(yīng)用而言是相當(dāng)重要的優(yōu)勢，也是定點器件至今仍是業(yè)界主流的主要原因。所以，討論定點DSP中除法的實現(xiàn)仍不失其意義。在定點DSP中雖然已經(jīng)有人給出除法的算法，但是由于其運算的復(fù)雜和精度難以如愿，致使一些帶有除法的好的算法在信號處理中難以得到應(yīng)用。
為了提高運算結(jié)果的精度，本文在已有除法算法的基礎(chǔ)上進行了一些改進，最大限度地保證了結(jié)果的精度。最后在TI公司的TMS320C5416芯片里具體實現(xiàn)并驗證了這一高精度除法。
1 經(jīng)典算法
DSP中沒有現(xiàn)成的除法指令，除法是靠被除數(shù)與除數(shù)之間的移位相減來實現(xiàn)的。在C54X系列里利用減法指令SUBC和循環(huán)指令RPT實現(xiàn)2個16位數(shù)的相除。下面以C54X為例來具體實現(xiàn)經(jīng)典的除法：
C54X提供的SuBC指令僅對無符號數(shù)進行操作，所以在移位相減開始之前必須先將被除數(shù)和除數(shù)取絕對值，僅考慮2個正數(shù)的除法。此時除法運算有兩種情況：
當(dāng)|被除數(shù)|<|除數(shù)|時，將|被除數(shù)|存放在累加器的高16位，然后用SUBC完成15次移位相減，相減之后在累加器A的低16位中存放商的絕對值。根據(jù)運算前被除數(shù)和除數(shù)的符號是否相同來決定是否要改變所得結(jié)果的符號。
當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時，將|被除數(shù)|存放在累加器的低16位，然后用SUBC完成16次移位相減，相減之后在累加器A的低16位中存放商的絕對值。根據(jù)運算前被除數(shù)和除數(shù)的符號是否相同來決定是否要改變所得結(jié)果的符號。
從實現(xiàn)的過程分析，當(dāng)|被除數(shù)|<|除數(shù)|時，移位相減開始時|被除數(shù)|和|除數(shù)|的小數(shù)點位置正好相差一位。第一次相減后在累加器A的O位最低位存進的數(shù)值正是商的最高位，該位為商的小數(shù)點后第一位。在15次移位相減之后，累加器A低16位所得的結(jié)果為Q值為15的小數(shù)。當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時，在第l6次相減時，|被除數(shù)|位于A的高16位(30～15位)上，小數(shù)點位在A的15位后，和|除數(shù)|的小數(shù)點位正好對齊，則此次相減后在A的0位加上的值正好是商的最低有效整數(shù)位，相當(dāng)于十進制數(shù)中的個位。所以在16次移位相減之后，累加器A低16位所得的結(jié)果為Q值為0的整數(shù)。以此分析，當(dāng)商的精確值不是整數(shù)，或者超出Q值15所表示的范圍時，此算法所得結(jié)果就達不到16位數(shù)據(jù)所能表達的精確度。
表1中任取幾組數(shù)據(jù)來說明。
2 高精度算法
由于經(jīng)典算法在結(jié)果上存在精度不高的問題，所以應(yīng)考慮精度盡可能高的除法算法。
和經(jīng)典算法一致，本算法也采用移位相減實現(xiàn)除法。但不同的是，在進行移位相減之前算法對除數(shù)與被除數(shù)進行了一些處理，并且在移位相減時不再分兩種情況。下面具體介紹算法的流程。
首先給出被除數(shù)y和除數(shù)x。由于定點DSP中所有的數(shù)據(jù)都以整數(shù)的形式存在，所以在這里就把y和x看成是整數(shù)，不考慮它們本身的Q值。在圖1所示的流程圖中，A和B是C5416的2個累加器。算法第一步是將x和y相乘，結(jié)果存放在B中，以便在最后從B中提取商的符號(商的符號與B的符號相同)。第二步分別對x和y取絕對值以進行無符號數(shù)相除。第三步，分別判斷x和y在最高有效位之前共有多少個O，分別記為n和m，即在x和y的分別有(16一n)和(16一m)個有效位。然后將x和y分別左移(n一1)位和(m一2)位，即x=x·2n-1，y=y·2m-2。第四步，將前面所得x和y再進行移位相減，把y存放在A的高位，即AH=y，利用SUBC指令進行1 5次移位相減。在所得的結(jié)果當(dāng)中，A的低位即為商的絕對值，B的符號即為商的符號，兩者結(jié)合得到quot值。由于在移位相減之前分別對除數(shù)和被除數(shù)有一個左移放大的操作，所以在結(jié)果中就必須考慮商的Q值。
假設(shè)給定的除數(shù)和被除數(shù)是x0和y0，則進行移位相減的兩數(shù)分別為x=x0·2n-1，y=y0·2m-2。根據(jù)計算的過程可以得到商的Q值為(14+m-n)，所以最后的結(jié)果應(yīng)該包括quot值和Q值(14+m—n)兩部分。即商=quot·2-Q。
3 實驗結(jié)果及討論
前一節(jié)中詳細(xì)介紹了高精度算法的具體流程，可以發(fā)現(xiàn)其與經(jīng)典算法相比，不同之處在于進行移位相減之前把除數(shù)和被除數(shù)進行了不同位數(shù)的左移，保證進行移位相減的除數(shù)的數(shù)據(jù)位最高位是l，即14位為1，而被除數(shù)的第13位為1。正是這個左移使結(jié)果的精度得到了提高。
在所引用的經(jīng)典算法中，當(dāng)1被除數(shù)l
利用高精度算法在TMS320C5416中計算上面的4組數(shù)據(jù)，所得結(jié)果如表2所列。
上面的實驗說明，該算法使計算結(jié)果的精度有了很大的提高。取表中第三組數(shù)據(jù)進行詳細(xì)分析，y=479、x=240，利用經(jīng)典算法結(jié)果為整數(shù)1。利用改進后的算法，得到的結(jié)果有兩部分：quot值=3FDDH，Q值=13。由這兩部分可以算得精確的商值1.995 727 539 062 5，而479/240=1.995 83，計算結(jié)果與實際值之間的誤差為O.000105 794 270 83。當(dāng)Q值=13時，定點數(shù)據(jù)表示形式允許的誤差為2-13=O.000 122 070 312 5，可見計算結(jié)果誤差在允許的誤差范圍之內(nèi)，也就是說計算結(jié)果滿足所推導(dǎo)出的精度的范圍。對比前后兩種算法，可以發(fā)現(xiàn)這里的計算結(jié)果精度由原來的1提高到了2-13。
通過分析可知，該算法使計算結(jié)果在精度上有了非常大的提高，但是在效率上則有所降低。如表3所列：
表3中的時鐘周期指的是DSP的機器時鐘周期。由表3可以發(fā)現(xiàn)高精度算法對于不同的數(shù)據(jù)所需的周期數(shù)是不一樣的，而且算法中計算被除數(shù)和除數(shù)的高位無效位數(shù)占用了大部分的周期數(shù)。
經(jīng)典算法在效率上比高精度算法高，主要是因為在高精度算法中高位無效位數(shù)的計算效率過低。用C5416計算|被除數(shù)|和|除數(shù)|的高位無效位數(shù)，效率低是由于在C5416中沒有現(xiàn)成的指令來探測數(shù)據(jù)中哪一位為最高有效位。表3給出的時鐘周期數(shù)是在筆者的程序中所得到的結(jié)果，由于時間匆忙和優(yōu)化方面能力的局限性，所以并不能保證在程序優(yōu)化方面做得很好，所以在C5416中對該部分程序再進行更好的優(yōu)化以減少執(zhí)行的時間是很可能的。
在TI公司C6000系列的定點DSP中，有專門的指令LMBD來快速得到累加器中從符號位開始無效0位的個數(shù)，只需幾個周期就能完成C5416里高位無效位數(shù)的計算，所以在C6000中完成整個算法的效率與經(jīng)典算法相比肯定能夠提高。并且在C6000系列中對不同的數(shù)據(jù)進行計算所需的時鐘周期數(shù)是一樣的，因此在C6O0O系列定點DSP中該算法有著更好的實用性。
結(jié) 語
本文介紹了高精度除法在定點DSP中的實現(xiàn)，通過與經(jīng)典除法算法的對比，顯示了其高精度的優(yōu)點。定點TMS320C5416實驗表明該算法使商的精度得到了很大的提高，但是在計算的效率上有待進一步提高。
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