本文來源于振動試驗學習筆記

＊＊＊時差域（自相關函數(shù)、互相關函數(shù)）

給出頻率成份和時間歷程之間的信息。

（1）自相關函數(shù)R_xx(τ)（auto-correlation function）：反應同一隨機信號x（t）在時刻t和（t+τ）時的相互依賴關系，定義為兩時刻隨機變量的乘積的平均值。

當平均時間趨近于無窮大時，便得到自相關函數(shù)，其數(shù)學式和曲線如下所示，是時差τ的函數(shù)。

隨機振動自相關函數(shù)曲線

上圖中可以看出，R_xx（τ）越大，同一隨機振動信號兩時刻的信號相似性越好；R_xx（τ）越小，相似性越差。對于平穩(wěn)隨機振動，當τ趨近于無窮大時，兩個信號越來越不相關，且其值趨近于μ²。μ= 0時，其也趨近于零。

隨機振動試驗中，很重要的一個函數(shù)，主要作用如下，

1 用于描述隨機振動過程的總能量以及靜態(tài)分量和動態(tài)分量。

當τ= 0的時候，即

2 用于檢測隨機振動過程中的確定性周期振動。

它可以把隨機信號中的周期成份檢測出來。因為任何周期信號在所有的時移上都有一定的自相關函數(shù)圖形，當在自相關函數(shù)圖上發(fā)現(xiàn)時差τ趨于無窮大，R_xx（∞）≠0，而有某種周期性，即說明隨機振動信號中混有周期信號成份。

3 用于構建自功率譜密度函數(shù)，通過對自相關函數(shù)進行傅里葉變換即可得到，隨機振動試驗中很重要的一個分析方法，和PSD關系很大。

（2）互相關函數(shù)R_xy (τ)（cross-correlationfunction）：反應兩個隨機信號x（t）、y（t）在時刻t和t+τ的相互依賴關系。

其數(shù)學式和曲線如下所示，是時差τ的函數(shù)。

隨機振動互相關函數(shù)曲線

同樣也是一個重要的函數(shù)，可以用于檢測振動系統(tǒng)響應信號與激勵信號的滯后時間，因為信號在系統(tǒng)中的時間滯后值，可以通過輸入和輸出的互相關函數(shù)中的峰值位置來確定，互相關函數(shù)最大值偏離坐標中心位置的時間坐標移動值，就是信號通過系統(tǒng)所需時間（圖中τ₀）。用于確定信號傳遞通道，如果一線性系統(tǒng)的輸入通過幾個通道輸出，利用互相關函數(shù)的時移，可以確定那個通道為主要的。用于辨別隨機信號中的成份，用于構建互功率譜密度函數(shù)（傅里葉變換）。

＊＊＊頻域(自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù))

（1）自功率譜密度函數(shù)S_xx(ω)：將平穩(wěn)隨機振動過程x(t)的自相關函數(shù)R_xx（τ）的傅里葉變換定義為隨機振動過程的自功率譜密度函數(shù)S_xx(ω)。其數(shù)學式如下所示，

其傅里葉逆變換即

下表列舉了各類振動信號的概率密度、自相關、自功率譜等的曲線，供參考。

自功率譜密度函數(shù)是一個很有用的函數(shù)，描述隨機振動的頻率構成。x²(t)可以看成振動系統(tǒng)的“功和能”的度量，R_xx（τ）中含有x²(t)的成份，求出S_xx(ω)后可以得到振動能量在頻率域的分布度量，因為時域和頻域功率守恒（帕斯瓦定理）。

了解以上概念后，這里可以提出PSD（功率譜密度譜）的概念，在指定頻率上，隨機振動信號的功率譜密度為，

式中，可以看到在指定頻率上的功率譜密度就是信號在Δf中的均方值的平均值。由于理想情況（平均時間無限長，濾波器的帶寬無限窄）不可能實現(xiàn)，因此通常是用有限平均時間和有限帶寬，即

將所有的Δf和對應的PSD值連續(xù)起來，便得到了頻率范圍內PSD的變化形式（曲線、直線、折線等圖形），這圖形稱為功率譜密度的頻譜，也就是隨機振動試驗最基本的試驗內容。功率譜密度的單位是g²/Hz，即單位頻率上的加速度值的平方，所以在隨機振動試驗中也稱為加速度譜密度（ASD）。功率譜密度的頻譜也稱為加速度譜密度的頻譜。單位有g²/Hz和m²/s⁴二種方式，兩者的關系約為100倍，即1g²/Hz = 100m²/s⁴。

至于PSD是怎么得到的，只要記住傅里葉變換得到的即可。具體來說，隨機信號→幅值正態(tài)分布→均方值（平均功率）→帕斯瓦定理（功率守恒）→自相關函數(shù)（去除相位信息）→維納-辛欽定理（一個信號的功率密度譜就是其自相關函數(shù)的傅里葉變換）。

（2）互功率譜密度函數(shù)S_xy(ω)：它是互相關函數(shù)的傅里葉變換，其數(shù)學式如下，

其傅里葉逆變換即

它可以用來描述兩隨機振動過程之間的頻率信息，不僅能提供按頻率分布的能量大小，還能提供兩信號之間的相互關系。從互功率譜密度中，可以得到系統(tǒng)的頻響函數(shù)，也可以確定振動響應與對其激勵的時間關系。

總結：

以上說明了隨機振動的4個域（時域、幅值域、時差域、頻域）描述中需要的幾個主要概念，對初學者來說理解起來比較困難。簡單來說，對于現(xiàn)場隨機振動，通過上面這些概念對其定義和計算，進行傅里葉變換，得到隨機振動試驗需要的PSD和量級。然后通過振動控制儀模擬現(xiàn)場隨機振動試驗，重現(xiàn)其有效頻率成份（頻率范圍）、功率譜密度（加速度譜密度）、總均方根加速度（有效值），振動臺面的運動是隨機振動的時間歷程，該時間歷程含有現(xiàn)場隨機振動的同樣成份（頻率、能量），是其典型代表，但波形基本上不是同樣的。