“簡 介： 對(duì)于學(xué)生在課后提出的關(guān)于全通系統(tǒng)的追問，推導(dǎo)出原來課件中存在的條件。這里的條件也完善了課件內(nèi)容。對(duì)于學(xué)生的追問也令授課教師感到幸福。
關(guān)鍵詞： 全通系統(tǒng)，RLC電路

”

§01 全通系統(tǒng)

??在上周的“信號(hào)與系統(tǒng)”課上，講述到系統(tǒng)的 頻率特性^[1] 分析，涉及到 全通系統(tǒng)^[2] 的概念。也就是信號(hào)通過全通系統(tǒng)后，幅度譜不變，僅僅相位譜發(fā)生改變。其中列舉的電路系統(tǒng)全通系統(tǒng)的例子，如下圖所示。這個(gè)例子比較成熟，在很多教科書中都會(huì)涉及到。

??由于時(shí)間的原因，在課堂上并沒有對(duì)于該全通電路系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)介紹，僅僅介紹了它的結(jié)果。根據(jù)該系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱分布的特點(diǎn)，可以得出信號(hào)通過該系統(tǒng)后，所有頻率分量的幅度增益相同，相位隨著頻率的增益單調(diào)下降。

??作為全通系統(tǒng)的樣例，在電路介紹的時(shí)候，在課件上并沒有將電路中的所有條件進(jìn)行列寫出來。本以為由于該電路求解相對(duì)比較繁瑣，并不會(huì)引起班上的學(xué)生的特別的重視。但還是樣本學(xué)生在課后，對(duì)于這樣的電路進(jìn)行了推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)其中存在的問題。學(xué)生通過微信發(fā)送來疑問：

“老師好，想問一個(gè)問題。此處的全通網(wǎng)絡(luò)我認(rèn)為是等效成一個(gè)交流電橋，然后利用戴維南定理計(jì)算傳遞函數(shù)，算出來是這個(gè)式子：

”

想問一下到底是哪個(gè)才對(duì)?而且ppt上給出的式子甚至沒有電容C。

??且不論該學(xué)生自行推導(dǎo)的公式是否正確，至少這個(gè)全通電路系統(tǒng)引起了他的興趣，并做了進(jìn)一步的追問。

??審視在這個(gè)成熟的全通系統(tǒng)的用例，的確對(duì)于它原有的出處少量佐證，至少能夠看到在原有課件中存在的缺少的條件。盡管沒有在第一時(shí)間能夠回答學(xué)生的提問，不過下面可以從問題的反方向來推導(dǎo)出上述電路系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)的必要條件。

§02 對(duì)稱電路系統(tǒng)

??下面僅僅依靠由LC組成的對(duì)稱網(wǎng)絡(luò)，輸出負(fù)載為電阻R，可以推導(dǎo)出電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。為了方便，使用器件s域模型，將原來的動(dòng)態(tài)電路網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成變換域內(nèi)的電阻網(wǎng)絡(luò)。

??首先根據(jù)對(duì)稱的LC網(wǎng)絡(luò)，將其重新整理成對(duì)稱的交流電橋的形式。輸出負(fù)載R就是電橋中點(diǎn)電壓的負(fù)載。

??下圖顯示了全通網(wǎng)絡(luò)整理后的H橋接的形式。為了簡化電路的求解，利用 戴維寧定理（Thevenin's Theorem）^[3] 將電橋兩邊分別等效成電壓源與電抗的串聯(lián)形式。

??電路的等效性是如下圖所示。兩邊的等效電路中，恒壓源為輸出開路時(shí)對(duì)應(yīng)的LC分壓數(shù)值。電壓源內(nèi)阻為從網(wǎng)絡(luò)輸入端口處的交流電阻。因此可以分別計(jì)算出以及，然后利用電阻網(wǎng)絡(luò)分壓定理計(jì)算出輸出電壓信號(hào)。

??兩個(gè)的數(shù)值為：

??兩個(gè)內(nèi)阻相同，它們等于：

??那么作用在電阻上的輸出電壓為：

??所以該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

??從上面可以看出，如果希望希望網(wǎng)絡(luò)能夠最終形成只有一對(duì)零點(diǎn)、極點(diǎn)z形成虛軸左右對(duì)稱關(guān)系，組成全通系統(tǒng)，那么只有將分母配置成在實(shí)軸上的2階重根，與分子抵消一個(gè)位于左半復(fù)平面的零點(diǎn)之后，便可以最終剩下一對(duì)關(guān)于虛軸左右對(duì)稱的零極點(diǎn)了。所以需要有如下的數(shù)值關(guān)系：

??由此，可以將分母配置成一個(gè)2重根的表達(dá)式：

??這樣與分子抵消一個(gè)零點(diǎn)之后，最終形成了電路傳遞函數(shù)的有理分式。其中對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，系統(tǒng)滿足全通系統(tǒng)的要求。

??因此從上述推導(dǎo)來看，在原來的課件中的確少了一個(gè)條件，也就是前面給出的之間的關(guān)系。

§03 討論總結(jié)

??上面討論過程，一方面補(bǔ)充了原來課件中少列些出的電路條件，另外也算給提問學(xué)生做了一個(gè)簡要的回答。在講課過程中的一些細(xì)節(jié)能夠引起學(xué)生的注意和追問，的確是作為一個(gè)教師所能感受到樂趣。再次也再次感謝追問課件中問題的學(xué)生。

參考資料

[1]頻率特性: https://baike.baidu.com/item/頻率特性/20265680?fr=aladdin

[2]全通系統(tǒng): https://baike.baidu.com/item/全通系統(tǒng)

[3]戴維寧定理（Thevenin's Theorem）: https://baike.baidu.com/item/戴維南定理/98440?fr=aladdin

黑龍江智能車邀請賽

卓大，這是今天黑龍江省邀請賽我們校單車的視頻，錄了3圈，最多跑了4圈半。賽道全長59米。

回復(fù)：太棒了！

卓大比賽的坡道會(huì)比今天黑龍江邀請賽的坡道大嗎？

回復(fù)：預(yù)賽的時(shí)候可能差不多，決賽的時(shí)候可能會(huì)增大一些。