引 言

人工智能、空間技術和原子能技術被稱為20 世紀的三大科學技術成就，人工智能的研究開展是智能機器人技術、信息技術、自動化技術以及探索人類自身智能奧秘的需要[1]?？茖W界有一個共識，即智能化是管理、自動化、計算機以及通信等技術領域的新方法、新技術、新產(chǎn)品的重要發(fā)展方向。人工智能是由數(shù)學、哲學、心理學、神經(jīng)生理學、語言學、信息論、控制論、計算機科學等多學科相互滲透而發(fā)展起來的綜合性新學科[2]。數(shù)學使人工智能成為一門規(guī)范的科學，是人工智能發(fā)展必不可少的基礎，在人工智能的各個發(fā)展階段都起著關鍵的作用。目前，關于人工智能數(shù)學發(fā)展史的研究綜述還很少。本文以人工智能發(fā)展的三個階段萌芽期、誕生期、發(fā)展期為視角，介紹了人工智能的數(shù)學基礎發(fā)展史，并對其數(shù)學基礎的發(fā)展趨勢進行了展望。

1 人工智能萌芽期的數(shù)學基礎

1956年以前被稱為人工智能的萌芽期，在這個期間，布爾邏輯、概率論、可計算理論取得了長足的發(fā)展。布爾邏輯是英國數(shù)學家GeorgeBoole 于19世紀中葉提出，典型的一元算符叫做邏輯非（NOT），基本的二元算符為邏輯或（OR）和邏輯與（AND）， 衍生的二元算符為邏輯異或（XOR）[3]。在 Boole邏輯的基礎上，F(xiàn)rege發(fā)展出了一階邏輯，研究了命題及由這些命題和量詞、連接詞組成的更復雜的命題之間的推理關系與推理規(guī)則[4]，從而出現(xiàn)了謂詞演算。這就奠定了人工智能抽取合理結(jié)論的形式化規(guī)則 命題邏輯和一階謂詞邏輯。

人工智能要解決各種不確定問題如天氣預測、經(jīng)濟形勢預測、自然語言理解等，這需要數(shù)學為其提供不確定推理的基礎，概率理論則是實現(xiàn)不確定推理的數(shù)學基礎。概率理論源于 17 世紀，有數(shù)百年的發(fā)展。瑞士數(shù)學家 Jacob Bernoulli 證明了伯努力大數(shù)定理， 從理論上支持了頻率的穩(wěn)定性； P.S.Laplace 和J.W.Lindeberg 證明了中心極限定理；20 世紀初，俄國數(shù)學家 A.N.Kolmogrov 逐步建立了概率的公理化體系； K.Pearson 將標準差、正態(tài)曲線、平均變差、均方根誤差等統(tǒng)計方法用于生物統(tǒng)計研究，為概率論在自然科學中的應用做出了卓越的貢獻 ；R.Brown 發(fā)現(xiàn)了布朗運動，維納提出了布朗運動的數(shù)學模型，奠定了隨機過程的基礎 ；A.K.Erlang 提出了泊松過程，成為排隊論的開創(chuàng)者 [5]。概率論、隨機過程、數(shù)理統(tǒng)計構成了概率理論，為人工智能處理各種不確定問題奠定了基礎。

支持向量機是人工智能的主要分類方法之一，其數(shù)學基礎為核函數(shù)。1909年，英國學者JamesMercer用Mercer定理證明了核函數(shù)的存在[6]。可計算理論是人工智能的重要理論基礎和工具，建立于20世紀30年代。為了回答是否存在不可判定的問題，數(shù)理邏輯學家提出了關于算法的定義（把一般數(shù)學推理形式化為邏輯演繹）?？梢员挥嬎?，就是要找到一個解決問題的算法[7]。1900年，David Hilber提出了著名的23個問題，其最后一個問題：是否存在一個算法可以判定任何涉及自然數(shù)的邏輯命題的真實性。1931，KurtGodel證明了這一問題，確實存在真實的局限整數(shù)的某些函數(shù)無法用算法表示，即不可計算。在不可計算性以外，如果解決一個問題需要的計算時間隨著實例規(guī)模呈指數(shù)級增長，則該問題被稱為不可操作的，對這個問題的研究產(chǎn)生了計算復雜性。計算復雜性是討論P=NP 的問題，這個問題到現(xiàn)在都是計算機科學中最大的未解決問題之一[8]。關于P與NP問題有很多定義， 較為典型的一種定義是在確定圖靈機（人工智能之父英國數(shù)學家圖靈1937年提出的一種機器計算模型，包括存儲器、表示語言、掃描、計算意向和執(zhí)行下一步計算）上能用多項式求解的問題是P 問題，在非確定圖靈機上能用多項式求解的問題是NP 問題 [9]?？捎嬎阈院陀嬎銖碗s性為人工智能判斷問題求解可能性奠定了數(shù)學基礎。

2 人工智能誕生期的數(shù)學基礎

1956 年，麥卡錫、明斯基、香農(nóng)和羅切斯特等學者召開了達特莫斯會議，該會議集聚了數(shù)學、心理學、神經(jīng)生理學、信息論和電腦科學等研究領域的年輕精英。該會議歷時兩個月，學者們在充分討論的基礎上，首次將人工智能作為一門新學科提出來。1956 年至1961 年被稱為人工智能的誕生期?；煦缡侨斯ぶ悄懿淮_定推理的新的數(shù)學理論基礎，最早來源于物理學科的研究。學術界認為，第一位發(fā)展混沌現(xiàn)象的學者是法國數(shù)學家物理學家龐加萊，他發(fā)現(xiàn)了天體動力學方程的某些解的不可預見性，即動力學混沌現(xiàn)象。以科爾莫戈夫、阿諾德和莫澤三個人命名的 KAM 定理被認為是創(chuàng)建混沌理論的標志[10]。在概率論的基礎上，出現(xiàn)了條件概率及貝葉斯定理， 奠定了大多數(shù)人工智能系統(tǒng)中不確定推理的現(xiàn)代方法基礎[5]。

3 人工智能發(fā)展期的數(shù)學基礎

1961 年之后，被稱為是人工智能的發(fā)展期。在這期間， 人工智能在機器證明、專家系統(tǒng)、第五代計算機、模式識別、人腦復制、人腦與電腦連接以及生物智能等領域取得了很多理論和實踐成果。所有的成果都離不開數(shù)學知識的支撐，人工智能的數(shù)學基礎在這個時期也取得了長足的發(fā)展。

混沌與分形為人工智能的不確定推理打開了新的思路， 在人工智能的發(fā)展期，混沌與分形完成了理論的發(fā)展和應用研究的開展。1963 年，美國氣象學家 E.N.Lorenz 在研究耗散系統(tǒng)時首先發(fā)現(xiàn)了混沌運動，在他當年發(fā)表的論文 確定性非周期流 中解釋了混沌運動的基本特征，介紹了洛倫茲吸引子和計算機數(shù)值模擬研究混沌的方法；1971 年，法國的D.Ruelle 和荷蘭的F.Takens 首次用混沌研究湍流，發(fā)現(xiàn)了一類特別復雜的新型混沌吸引子；1975 年，華人學者李天巖和導師J.Yorke 對混沌的數(shù)學特征進行了研究，標志著混沌理論的基本形成； 1979 年，E.N.Lorenz 在美國科學促進會的一次演講中提出了著名的 蝴蝶效應 ，使得混沌學令人著迷、令人激動，激勵著越來越多的學者參與到混沌學的理論和應用研究中來。1989 年，R.L.Devney 給出了混沌的數(shù)學定義 ：設 X 是一個度量空間，f是一個連續(xù)映射，如果 f 滿足以下三個條件則稱為X 上的混沌。

（1）f 是拓撲傳遞的；

（2）f 的周期點在 X 中稠密；

（3）f 對初始條件敏感。

混沌理論在復雜問題優(yōu)化、聯(lián)想記憶和圖像處理、模式識別、網(wǎng)絡通信等諸多領域都有成功的運用。Yamada T 將混沌神經(jīng)網(wǎng)絡用于TSP 問題優(yōu)化中，結(jié)果混沌神經(jīng)網(wǎng)絡表現(xiàn)出強大的優(yōu)化性能 [11]?；煦缋碚撛诼?lián)想記憶的應用上顯示出優(yōu)越的性能，可應用于信息存儲、信息檢索、聯(lián)想記憶、圖像識別等方面[12]。模式識別是人工智能的主要研究問題之一，混沌學在此領域也有成功的應用，Kyung Rung[13] 將混沌回歸神經(jīng)網(wǎng)絡應用于朝鮮口語數(shù)字和單音節(jié)語音識別，與常規(guī)的回歸神經(jīng)網(wǎng)絡相比，新方法的效果更佳。李緒[14] 等將混沌神經(jīng)網(wǎng)絡模型應用于手寫體數(shù)字識別和簡單圖像識別，實驗顯示，混沌神經(jīng)網(wǎng)絡對手寫體識別正確率和可靠度高達 90% 以上。

1967 年，法國數(shù)學家 B.B.Mandel brot 提出了分形學的里程碑問題 英國海岸線有多長？成為人類研究分形幾何的開端 [15]，分形理論是對歐氏幾何相關理論的拓展和延伸。1968 年，Madndelbrot 和 Ness 提出了分形布朗運動，并給出了離散分形布朗隨機場的定義 [16]。Peleg S 于 1984 年提出了雙毯覆蓋模型[17]，這是對Mandel brot 在估計英國海岸線長度時的一種推廣?；诜中蔚睦碚摵退枷耄藗兂橄蟪鲆环N方法論分形方法論[17]，該理論在人工智能領域的典型應用是用于網(wǎng)絡流量分析。1993 年以來，陸續(xù)有許多這方面的研究成果出現(xiàn)。通過對局域網(wǎng)高分辨率的測量分析，leland[18] 發(fā)現(xiàn)以太網(wǎng)流量表現(xiàn)出自相似的分形性質(zhì)。進一步深入研究發(fā)現(xiàn)，在較小的時間尺度上，網(wǎng)絡流量體現(xiàn)出更復雜的變化規(guī)律，由此出現(xiàn)了多重分形的概念[19]。分形理論用于實現(xiàn)網(wǎng)絡流量智能分析， 已經(jīng)有很多成功的案例，如TCP 流量的擁塞控制[20]，Internet 流量建模 [21]。陸錦軍等還提出了網(wǎng)絡行為的概念[22]，用于研究大規(guī)模網(wǎng)絡上觀測到的尺度行為。

扎德對不確定性就是隨機性這一長期以來的觀點提出了挑戰(zhàn)，認為有一類不確定性問題無法用概率論解決。1965 年發(fā)表了論文Fuzzy Sets，創(chuàng)立了模糊集合論[23]。除了傳統(tǒng)的屬于或不屬于一個集合之外，模糊集認為集合之間還有某種程度隸屬于的關系，屬于的程度用[0，1] 之間的數(shù)值表示，該數(shù)值稱為隸屬度。隸屬度函數(shù)的確定方法大致有 6 種形態(tài)， 包括正態(tài)（鐘形）隸屬度函數(shù)、嶺形隸屬函數(shù)、柯西隸屬函數(shù)、凸凹型隸屬函數(shù)、隸屬函數(shù)以及線性隸屬函數(shù) [24]。1978 年， 在模糊集的基礎上，扎德提出了可能性理論，將不確定理解為與概率不同的 可能性 ，與之對應的可能性測度也是一種集合賦值方法[25]。聚類在人工智能領域有大量應用，是模糊集研究的較早的一個方向[26]。模糊集理論在人工智能領域的典型應用還有數(shù)據(jù)選擇[27]、屬性范化[28]、數(shù)據(jù)總結(jié)等[29]。

離開了隸屬度或隸屬函數(shù)的先驗信息，模糊集合運算難以進行，粗糙集理論研究了用不確定本身提供的信息來研究不確定性。上世紀 80 年代初，粗糙集的奠基人波蘭科學家Pawlak[30] 基于邊界區(qū)域的思想提出了粗糙集的概念并給出了相應的定義。粗糙集從知識分類入手，研究在保持分類能力不變的情況下，經(jīng)過知識約簡，推出概念的分類規(guī)則，最后獲得規(guī)則知識。粗糙集隸屬度函數(shù)的定義有多種形式，典型的是Yao Y Y 在 1998 年用三值邏輯進行的定義[31]。粗糙集理論的核心基礎是從近似空間導出上下近似算子，典型的構造方法是公理化方法。1994 年，Lin T Y 最早提出用公理化方法研究粗糙集[32]，之后不少學者對公理化方法進行了完善和改進。粗糙集在人工智能領域的應用主要體現(xiàn)在知識獲取 [33]，知識的不確定性度量[34] 和智能化數(shù)據(jù)挖掘[35] 等方面。

傳統(tǒng)的模糊數(shù)學存在隸屬度、可能測度與概率區(qū)分不是絕對分明的問題，目前，已經(jīng)無法滿足很多領域?qū)Σ淮_定推理的需要。在發(fā)現(xiàn)狀態(tài)空間理論以及云與語言原子模型后，1993 年，李德毅院士在其文獻《隸屬云和語言原子模型》[36]中首次提出了云的概念，并逐步建立了云模型。云模型通過3 個數(shù)字特征，即期望Ex，熵En 和超熵He 實現(xiàn)定性概念到定量數(shù)據(jù)間的轉(zhuǎn)化，并以云圖的方式表現(xiàn)出來，比傳統(tǒng)的模糊概念更直觀具體。1995年，李德毅等人在其文獻隸屬云發(fā)生器中系統(tǒng)化的提出了云的概念[37]。1998年，該課題組在一維云的基礎上進一步提出了二維云的數(shù)學模型和二維云發(fā)生器的構成方法[38]。2001年，杜鹢提出了基于云模型的概念劃分方法云變換[39]。2003年，李德毅課題組提出了逆向云算法[40]。2004年至2007年，該課題組進一步完善了云模型的數(shù)學基礎和數(shù)學性質(zhì)，將云模型抽象到更深層次的普適性空間。云模型在人工智能的多個領域都有成功的應用，包括定性知識推理與控制，數(shù)據(jù)挖掘和模式識別。如1999 年，李德毅將云模型用于倒立擺的控制[41]；2002年，張光衛(wèi)建立了基于云模型的對等網(wǎng)信任模型[42]；2001年，岳訓等人將云模型用于Web 數(shù)據(jù)挖掘[43]；2003年，田永青等人基于云模型提出了新的決策樹生成方法[44]；2009年，牟峰等人將云模型用于遺傳算法的改進[45]。

貝葉斯網(wǎng)絡起源于條件概率，是一種描述變量間不確定因果關系的圖形網(wǎng)絡模型，是目前人工智能，典型用于各種推理的數(shù)學工具。最初的貝葉斯網(wǎng)絡時間復雜度很大，限制了其在實際工程中的應用。1986 年，PEARL 提出的消息傳遞算法為貝葉斯網(wǎng)提供了一個有效算法 [46]，為其進入實用領域奠定了數(shù)學基礎。1992 年，丹麥AALBORG 大學基于貝葉斯網(wǎng)開發(fā)了第一個商業(yè)軟件（HUGIN）[47]，可實現(xiàn)貝葉斯網(wǎng)的推理，使貝葉斯網(wǎng)真正進入實用階段。1997 年，Koller 和 Pfeffer[48] 將面向?qū)ο蟮乃枷胍胴惾~斯網(wǎng)，用于解決大型復雜系統(tǒng)的建模問題。將時間量引入貝葉斯網(wǎng)則形成了動態(tài)貝葉斯網(wǎng)[47]，動態(tài)貝葉斯網(wǎng)提供了隨時間變化的建模和推理工具。貝葉斯網(wǎng)絡節(jié)點兼容離散變量和連續(xù)數(shù)字變量則形成了混合貝葉斯網(wǎng)，混合貝葉斯網(wǎng)在海量數(shù)據(jù)的挖掘和推理上有較大優(yōu)勢 [49]。貝葉斯在人工智能領域的應用主要包括故障診斷 [50]，系統(tǒng)可靠性分析[51]，航空交通管理[52]，車輛類型分類[53] 等。

4 結(jié) 語

人工智能科學想要解決的問題是讓電腦也具有聽、說、讀、寫、思考、學習、適應環(huán)境變化以及解決各種實際問題的能力。布爾邏輯、概率論以及可信計算理論為人工智能的誕生奠定了數(shù)學基礎，這些數(shù)學理論經(jīng)歷了上百年的發(fā)展，已經(jīng)比較成熟?；煦缗c分形、模糊集與粗糙集、云模型等人工智能的數(shù)學理論是近 30年發(fā)展起來的，為不確定性人工智能奠定了數(shù)學基礎， 但還存在很多問題需要解決。就混沌與分形來說，其理論體系還不成熟，其應用在復雜問題的優(yōu)化、聯(lián)想、記憶等方面將更有生命力；對于粗糙集來說，其理論研究可以從粗糙集的擴展方面進行，并在相關模型下進行應用研究；就云模型來說， 如何揭示其理論上的優(yōu)勢以及和其他相關模型的聯(lián)系與區(qū)別， 以及如何實現(xiàn)數(shù)值域和符號域共同表達的云模型都是值得研究的問題。貝葉斯網(wǎng)是人工智能領域目前最有效的推理工具， 將來的研究應集中在概率繁殖算法的改進、混合貝葉斯網(wǎng)以及動態(tài)貝葉斯網(wǎng)的擴展研究等方面。