引言

線性調(diào)頻信號(hào)(linear frequency modulation,LFM)被廣泛 應(yīng)用于通信、雷達(dá)、聲吶等系統(tǒng)中，是一種特殊的非平穩(wěn)信號(hào)％ 時(shí)頻分析是對(duì)該類信號(hào)進(jìn)行分析的常用方法。

時(shí)頻分析是近年來(lái)興起的用于非平穩(wěn)信號(hào)分析的重要工 具。時(shí)頻分析將一維的時(shí)域信號(hào)和頻域信號(hào)映射到二維時(shí)頻 平面上，獲得信號(hào)的聯(lián)合時(shí)頻分布，在時(shí)頻域區(qū)分別提取各 信號(hào)分量［2Io魏格納-維爾分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)是描述信號(hào)時(shí)頻分布的一個(gè)有力工具，是處理非平穩(wěn) 信號(hào)的一種最基本、應(yīng)用最多的時(shí)頻分布。

由于LFM信號(hào)的WVD為時(shí)頻面上的一條直線，所以在 時(shí)頻域中對(duì)LFM信號(hào)的檢測(cè)問題可以等價(jià)為圖像處理中的直 線檢測(cè)問題。Hough變換是圖像處理中一種常用的直線檢測(cè) 方法叫 將WVD與Hough變換相結(jié)合，在時(shí)頻平面沿LFM信號(hào)的WVD能量分布直線進(jìn)行積分，即得到維格納-霍夫變 換(Wigner-Hough Transformation， WHT)。

本文利用WVD和WHT對(duì)單、兩線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行了 檢測(cè)，并對(duì)這兩種時(shí)頻分析方法進(jìn)行了分析和比較。

1 Wigner-Ville分布及幾種變型

Wigner-Ville分布是一種最基本、也是應(yīng)用最廣的時(shí)頻 分布，它是眾多時(shí)頻分析技術(shù)的基礎(chǔ)和核心，后續(xù)許多時(shí)頻 技術(shù)都是對(duì)WVD的改善或者說(shuō)是為克服交叉項(xiàng)而做的各種 努力。信號(hào)x(t)的Wigner-Ville分布記為閔:

式 (1) 是信號(hào)能量域的時(shí)頻表示，以時(shí)間 t 和頻率 f 為自變量。實(shí)際應(yīng)用中信號(hào) x(t) 一般是實(shí)信號(hào)，而實(shí)信號(hào)的頻譜除了正頻部分，還存在負(fù)頻率成分，因此信號(hào)在做時(shí)頻分析一般將信號(hào)轉(zhuǎn)化為解析形式，比如通過希爾伯特變換。Wigner-Ville 分布的頻域形式記為 ：

Wigner-Ville 分布出現(xiàn)后，在許多領(lǐng)域得到實(shí)際應(yīng)用。人們針對(duì)不同的實(shí)際需要，對(duì)其做了某些改善，從而催生了一系列新的時(shí)頻分布。到 20 世紀(jì) 60 年代，時(shí)頻巨匠 Cohen 經(jīng)過大量研究發(fā)現(xiàn)，眾多的時(shí)頻分布只是 Wigner-Ville 分布的變形，它們可以用統(tǒng)一的形式表示，而不同的時(shí)頻分布只是體現(xiàn)在核函數(shù) ( 窗函數(shù) ) 不同而已。

Cohen 類時(shí)頻分布的統(tǒng)一表達(dá)形式 ：

式中，{ x( ,v)稱為核函數(shù)，或者理解為加在原 Wigner-Ville 分布上的窗函數(shù)。當(dāng)窗函數(shù){ x( ,v) = 1時(shí)，式 (3) 就還原為普通的 Wigner-Ville 分布了。當(dāng)核函數(shù){ x( ,v)取不同的表達(dá)式，就可得到眾多不同類型的時(shí)頻分布。雖然 Wigner-Ville 分布具有許多期望的優(yōu)良數(shù)學(xué)性質(zhì)而備受學(xué)界推崇，但由于本身固有的雙線性特性，造成多分量信號(hào)分析時(shí)存在交叉項(xiàng)干擾。對(duì)核函數(shù)進(jìn)行特定的設(shè)計(jì)和約束，就能達(dá)到對(duì)交叉項(xiàng)的某種程度上的抑制或削弱。

如果直接令核函數(shù)為一個(gè)具體的時(shí)間函數(shù) ( , ) (){ x v hx=，得到準(zhǔn) Wigner 分布 (Pesudo-Wigner Distribution，PWD)，其形式如下：

Wigner 分布中，時(shí)間窗函數(shù)在 Wigner-Ville 分布的頻域方向進(jìn)行了平滑。若要同時(shí)對(duì)時(shí)域方向進(jìn)行平滑，則需同時(shí)加上一個(gè)頻域窗函數(shù)，即令 ( , ) () ( )v hg v{ xx=，得到的是平滑 偽 Wigner 分 布(Smoothly Pesudo-Wigner Distribution，SPWD)：

2WHT 變換檢測(cè)方法及性能分析

對(duì)于離散的有限圖像來(lái)說(shuō)，Hough 變換核心思想是將所有的線條參數(shù)組成的參數(shù)空間量化為有限的參數(shù)表。Hough變換將笛卡兒坐標(biāo)系中的觀測(cè)數(shù)據(jù) (x,y) 變換到參數(shù)空間中的坐標(biāo) (ρ,θ)，即 ：

式 中， i ! [ , 0 180c]。 當(dāng) 對(duì) 信 號(hào) 的 Wigner-Ville 分 布 進(jìn) 行Hough 變換，可以獲得一種新的變換，即為 WHT 變換。WHT 變換與 Wigner-Ville 分布相比，可有效抑制噪聲和交叉項(xiàng)。能量有限信號(hào) x(t) 的 Wigner-Hough 變換記為 ：

其中，“*”表示復(fù)共軛，式 (7) 也可表示為 Wigner-Ville 分布Wx(t,v) 的線積分形式 ：

對(duì)信號(hào) x(t) 進(jìn)行 N 點(diǎn)離散采樣，WHT 變換的離散形式為：

當(dāng) x(n)為一線性調(diào)頻信號(hào)時(shí)，由式(9)可得其 WHT 的峰值為 N2A2 /2，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 (f0, g0)。因此，可通過檢測(cè)信號(hào) WHT 的峰值來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì) LFM 信號(hào)的檢測(cè)。對(duì)于高斯白噪聲背景下 LFM 信號(hào)的 Wigner-Hough 變換檢測(cè)方法，其步驟為 ：

(1) 計(jì)算接收信號(hào)的 Wigner-Ville 分布。

(2) 對(duì) Wigner-Ville 分布的結(jié)果，進(jìn)行 Hough 變換。

(3) 尋找 WHT 的峰值，并與給定的門限進(jìn)行比較。若超過門限，則認(rèn)為 LFM 信號(hào)存在 ；否則，認(rèn)為不存在。

LFM 信號(hào) x(t) 經(jīng)過高斯白噪聲信道后，輸出信號(hào)為r(t)=x(t)+v(t)，其中 v(t) 為高斯白噪聲。對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行 N 點(diǎn)采樣后，設(shè) WHT 的離散輸出信噪比為 ：

x(n) 的 WHT 峰值為 N2A2 /2，因此，WHT 輸出信號(hào)的功率為 ：

設(shè)噪聲 v(t) 的方差為nd2，則LFM 信號(hào)經(jīng)過高斯白噪聲信道前的 WHT 信噪比為 ：

含有高斯噪聲的 LFM 信號(hào) r(t) 的離散 WHT 均值為 ：

根據(jù)零均值復(fù)高斯隨機(jī)變量的矩性質(zhì)，可得 WHx+v(f0+g0)的二階矩為 ：

3 性能仿真與分析

為驗(yàn)證該方法的性能，這里在 Matlab 仿真環(huán)境下，使用該方法對(duì) LFM 信號(hào)進(jìn)行了仿真檢測(cè)。LFM 信號(hào)的歸一化頻率范圍為 [0，0.5]，在信噪比為 1 dB 情況下，單線性調(diào)頻信號(hào)的 Wigner-Ville 分布的等高線圖與三維圖如圖 1 所示。

由圖 1 可以看出，單線性調(diào)頻信號(hào)的 Wigner-Ville 分布受噪聲干擾較為嚴(yán)重，產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾，在三維圖中干擾尤為嚴(yán)重。單線性調(diào)頻信號(hào) Wigner-Hough 分布的等高線圖與三維圖如圖 2 所示。

通過比較 Wigner-Ville 分布和 Wigne-Hough 變換的仿真結(jié)果可見，后者在抑制交叉項(xiàng)方面有明顯效果。從三維圖中可以看出，該信號(hào)的 Wigne-Hough 變換在 (ρ, θ) 平面上有一個(gè)明顯的峰值，從而實(shí)現(xiàn)了 LFM 信號(hào)的準(zhǔn)確檢測(cè)。為進(jìn)一步分析兩種方法的性能，這里產(chǎn)生了頻率范圍分別為 [0，0.4] 和[0.3，0.5] 的兩線性調(diào)頻信號(hào)，在信噪比為 1 dB 的情況下，其Wigner-Ville 分布的等高線圖與三維圖如圖 3 所示。

由圖 3 可見，此時(shí)交叉項(xiàng)干擾更為嚴(yán)重。在圖 3(a) 中，交叉項(xiàng)也構(gòu)成了一個(gè)較為明顯的 LFM 信號(hào)項(xiàng)。圖 3(b) 則產(chǎn)生了較多峰值，基本無(wú)法實(shí)現(xiàn) LFM 信號(hào)的檢測(cè)。兩線性調(diào)頻信號(hào)Wigner-Hough 變換的等高線與三維圖分別如圖 4 所示。

由圖 4(b) 可見，信號(hào)的 Wigner-Hought 分布在 (ρ, θ) 平面上有兩個(gè)明顯的峰值，它分別表征了兩個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)。通過對(duì)兩種 LFM 信號(hào)的處理結(jié)果比較可見，Wigner-Hough 變換有限抑制了交叉項(xiàng)的干擾。

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì) LFM 信號(hào)處理的兩種常用方法 Wigner-Ville 分布和Wigner-Hough 變換進(jìn)行了總結(jié)，推導(dǎo)了 Wigner-Hough 變換前后信號(hào)的信噪比公式。在 AWGN 背景下，利用兩種變換分別對(duì)單線性調(diào)頻信號(hào)和兩線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行了檢測(cè)，給出了其變換的等高線圖和三維圖。仿真結(jié)果表明，與 Wigner-Ville 分布相比，Wigner-Hough 變換在低信噪比和多干擾信號(hào)兩種情況下，均具有較好的干擾項(xiàng)抑制性能。

20211020_61700b7ecca2b__基于WVD的LFM信號(hào)檢測(cè)方法研究