引言

線性調頻信號(linear frequency modulation,LFM)被廣泛 應用于通信、雷達、聲吶等系統(tǒng)中，是一種特殊的非平穩(wěn)信號％ 時頻分析是對該類信號進行分析的常用方法。

時頻分析是近年來興起的用于非平穩(wěn)信號分析的重要工 具。時頻分析將一維的時域信號和頻域信號映射到二維時頻 平面上，獲得信號的聯合時頻分布，在時頻域區(qū)分別提取各 信號分量［2Io魏格納-維爾分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)是描述信號時頻分布的一個有力工具，是處理非平穩(wěn) 信號的一種最基本、應用最多的時頻分布。

由于LFM信號的WVD為時頻面上的一條直線，所以在 時頻域中對LFM信號的檢測問題可以等價為圖像處理中的直 線檢測問題。Hough變換是圖像處理中一種常用的直線檢測 方法叫 將WVD與Hough變換相結合，在時頻平面沿LFM信號的WVD能量分布直線進行積分，即得到維格納-霍夫變 換(Wigner-Hough Transformation， WHT)。

本文利用WVD和WHT對單、兩線性調頻信號進行了 檢測，并對這兩種時頻分析方法進行了分析和比較。

1 Wigner-Ville分布及幾種變型

Wigner-Ville分布是一種最基本、也是應用最廣的時頻 分布，它是眾多時頻分析技術的基礎和核心，后續(xù)許多時頻 技術都是對WVD的改善或者說是為克服交叉項而做的各種 努力。信號x(t)的Wigner-Ville分布記為閔:

式 (1) 是信號能量域的時頻表示，以時間 t 和頻率 f 為自變量。實際應用中信號 x(t) 一般是實信號，而實信號的頻譜除了正頻部分，還存在負頻率成分，因此信號在做時頻分析一般將信號轉化為解析形式，比如通過希爾伯特變換。Wigner-Ville 分布的頻域形式記為 ：

Wigner-Ville 分布出現后，在許多領域得到實際應用。人們針對不同的實際需要，對其做了某些改善，從而催生了一系列新的時頻分布。到 20 世紀 60 年代，時頻巨匠 Cohen 經過大量研究發(fā)現，眾多的時頻分布只是 Wigner-Ville 分布的變形，它們可以用統(tǒng)一的形式表示，而不同的時頻分布只是體現在核函數 ( 窗函數 ) 不同而已。

Cohen 類時頻分布的統(tǒng)一表達形式 ：

式中，{ x( ,v)稱為核函數，或者理解為加在原 Wigner-Ville 分布上的窗函數。當窗函數{ x( ,v) = 1時，式 (3) 就還原為普通的 Wigner-Ville 分布了。當核函數{ x( ,v)取不同的表達式，就可得到眾多不同類型的時頻分布。雖然 Wigner-Ville 分布具有許多期望的優(yōu)良數學性質而備受學界推崇，但由于本身固有的雙線性特性，造成多分量信號分析時存在交叉項干擾。對核函數進行特定的設計和約束，就能達到對交叉項的某種程度上的抑制或削弱。

如果直接令核函數為一個具體的時間函數 ( , ) (){ x v hx=，得到準 Wigner 分布 (Pesudo-Wigner Distribution，PWD)，其形式如下：

Wigner 分布中，時間窗函數在 Wigner-Ville 分布的頻域方向進行了平滑。若要同時對時域方向進行平滑，則需同時加上一個頻域窗函數，即令 ( , ) () ( )v hg v{ xx=，得到的是平滑 偽 Wigner 分 布(Smoothly Pesudo-Wigner Distribution，SPWD)：

2WHT 變換檢測方法及性能分析

對于離散的有限圖像來說，Hough 變換核心思想是將所有的線條參數組成的參數空間量化為有限的參數表。Hough變換將笛卡兒坐標系中的觀測數據 (x,y) 變換到參數空間中的坐標 (ρ,θ)，即 ：

式 中， i ! [ , 0 180c]。 當 對 信 號 的 Wigner-Ville 分 布 進 行Hough 變換，可以獲得一種新的變換，即為 WHT 變換。WHT 變換與 Wigner-Ville 分布相比，可有效抑制噪聲和交叉項。能量有限信號 x(t) 的 Wigner-Hough 變換記為 ：

其中，“*”表示復共軛，式 (7) 也可表示為 Wigner-Ville 分布Wx(t,v) 的線積分形式 ：

對信號 x(t) 進行 N 點離散采樣，WHT 變換的離散形式為：

當 x(n)為一線性調頻信號時，由式(9)可得其 WHT 的峰值為 N2A2 /2，對應的坐標為 (f0, g0)。因此，可通過檢測信號 WHT 的峰值來實現對 LFM 信號的檢測。對于高斯白噪聲背景下 LFM 信號的 Wigner-Hough 變換檢測方法，其步驟為 ：

(1) 計算接收信號的 Wigner-Ville 分布。

(2) 對 Wigner-Ville 分布的結果，進行 Hough 變換。

(3) 尋找 WHT 的峰值，并與給定的門限進行比較。若超過門限，則認為 LFM 信號存在 ；否則，認為不存在。

LFM 信號 x(t) 經過高斯白噪聲信道后，輸出信號為r(t)=x(t)+v(t)，其中 v(t) 為高斯白噪聲。對接收信號進行 N 點采樣后，設 WHT 的離散輸出信噪比為 ：

x(n) 的 WHT 峰值為 N2A2 /2，因此，WHT 輸出信號的功率為 ：

設噪聲 v(t) 的方差為nd2，則LFM 信號經過高斯白噪聲信道前的 WHT 信噪比為 ：

含有高斯噪聲的 LFM 信號 r(t) 的離散 WHT 均值為 ：

根據零均值復高斯隨機變量的矩性質，可得 WHx+v(f0+g0)的二階矩為 ：

3 性能仿真與分析

為驗證該方法的性能，這里在 Matlab 仿真環(huán)境下，使用該方法對 LFM 信號進行了仿真檢測。LFM 信號的歸一化頻率范圍為 [0，0.5]，在信噪比為 1 dB 情況下，單線性調頻信號的 Wigner-Ville 分布的等高線圖與三維圖如圖 1 所示。

由圖 1 可以看出，單線性調頻信號的 Wigner-Ville 分布受噪聲干擾較為嚴重，產生了較為嚴重的交叉項干擾，在三維圖中干擾尤為嚴重。單線性調頻信號 Wigner-Hough 分布的等高線圖與三維圖如圖 2 所示。

通過比較 Wigner-Ville 分布和 Wigne-Hough 變換的仿真結果可見，后者在抑制交叉項方面有明顯效果。從三維圖中可以看出，該信號的 Wigne-Hough 變換在 (ρ, θ) 平面上有一個明顯的峰值，從而實現了 LFM 信號的準確檢測。為進一步分析兩種方法的性能，這里產生了頻率范圍分別為 [0，0.4] 和[0.3，0.5] 的兩線性調頻信號，在信噪比為 1 dB 的情況下，其Wigner-Ville 分布的等高線圖與三維圖如圖 3 所示。

由圖 3 可見，此時交叉項干擾更為嚴重。在圖 3(a) 中，交叉項也構成了一個較為明顯的 LFM 信號項。圖 3(b) 則產生了較多峰值，基本無法實現 LFM 信號的檢測。兩線性調頻信號Wigner-Hough 變換的等高線與三維圖分別如圖 4 所示。

由圖 4(b) 可見，信號的 Wigner-Hought 分布在 (ρ, θ) 平面上有兩個明顯的峰值，它分別表征了兩個線性調頻信號。通過對兩種 LFM 信號的處理結果比較可見，Wigner-Hough 變換有限抑制了交叉項的干擾。

4 結 語

對 LFM 信號處理的兩種常用方法 Wigner-Ville 分布和Wigner-Hough 變換進行了總結，推導了 Wigner-Hough 變換前后信號的信噪比公式。在 AWGN 背景下，利用兩種變換分別對單線性調頻信號和兩線性調頻信號進行了檢測，給出了其變換的等高線圖和三維圖。仿真結果表明，與 Wigner-Ville 分布相比，Wigner-Hough 變換在低信噪比和多干擾信號兩種情況下，均具有較好的干擾項抑制性能。

20211020_61700b7ecca2b__基于WVD的LFM信號檢測方法研究