0 引言

大部分實(shí)際控制工程都是復(fù)雜的高階系統(tǒng)，通常可將其分解為若干個一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的疊加。在研究復(fù)雜控制系統(tǒng)的過程中，往往通過主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子相消的方法，將高階系統(tǒng)簡化為二階等低階系統(tǒng)的組合，再根據(jù)對二階控制系統(tǒng)輸出和性能的分析，對控制系統(tǒng)偏差進(jìn)行校正，從而獲得滿足設(shè)計指標(biāo)和使用要求的高階系統(tǒng)性能。因此，掌握二階控制系統(tǒng)動態(tài)特性理論，構(gòu)建二階控制系統(tǒng)動態(tài)特性的測試系統(tǒng)，可大大簡化系統(tǒng)分析，對控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計具有重要作用。

Simulink 是一種以Matlab 為基礎(chǔ)的實(shí)現(xiàn)交互式動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真與分析的軟件包，可以針對控制系統(tǒng)等進(jìn)行系統(tǒng)建模、仿真、分析等工作，被廣泛應(yīng)用于線性控制系統(tǒng)、非線性控制系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。本文介紹基于Matlab/Simulink 仿真環(huán)境下，通過單位階躍信號作用，利用仿真實(shí)例對二階控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，直接觀察和分析二階控制系統(tǒng)輸出性能的變化，充分體現(xiàn)了Matlab/Simulink仿真直觀和方便的特點(diǎn)。

1 二階控制系統(tǒng)模型

能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階控制系統(tǒng)。在控制工程實(shí)踐中，二階控制系統(tǒng)十分常見，例如，電樞控制的直流電動機(jī)，RLC網(wǎng)絡(luò)和彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機(jī)械位移系統(tǒng)等。此外，許多高階系統(tǒng)在一定條件下，常常近似地作為二階控制系統(tǒng)來研究。因此，詳細(xì)討論和分析二階控制系統(tǒng)的特性，具有極為重要的實(shí)際意義。典型二階控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：ζ為系統(tǒng)阻尼比;ωn為無阻尼自然振蕩角頻率，單位為rad/s.二階控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可由以上兩個參數(shù)描述。二階控制系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，其輸出響應(yīng)可分為以下幾種情況：

(1)當(dāng)ζ=0時，二階控制系統(tǒng)為零阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為無阻尼等幅振蕩曲線。

(2)當(dāng)0<ζ<1 時，二階控制系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)的極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，位于S 左半平面。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)兩部分組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1,瞬態(tài)響應(yīng)為振蕩衰減過程，振蕩角頻率由阻尼比ζ和無阻尼自然振蕩角頻率ωn決定，并且隨著ζ的減小，其振蕩幅度加大。

(3)當(dāng)ζ=1時，二階控制系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)具有兩個相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，位于S 左半平面。系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為無超調(diào)，無振蕩單調(diào)上升的曲線，不存在穩(wěn)態(tài)誤差。

(4)當(dāng)ζ>1時，二階控制系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)。系統(tǒng)具有兩個不等的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，位于S左半平面，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)與臨界阻尼情況相似，為無超調(diào)，無振蕩單調(diào)上升的曲線，但它的過渡過程時間較之臨界阻尼更長。

2 二階控制系統(tǒng)仿真設(shè)計與研究

2.1 二階控制系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)設(shè)計

啟動Matlab 7.04,進(jìn)入Simulink 仿真界面，根據(jù)二階控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，設(shè)計二階控制系統(tǒng)的Simu-link仿真結(jié)構(gòu)如圖2所示。雙擊各函數(shù)模塊，在出現(xiàn)的各參數(shù)對話框內(nèi)設(shè)置相應(yīng)的參數(shù)，仿真時輸入單位階躍信號，起始時間為0,分別改變ωn 和ζ的值，點(diǎn)擊simula-tion菜單下的start命令進(jìn)行仿真，雙擊示波器模塊觀察仿真結(jié)果，得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，再進(jìn)行分析ωn和ζ對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

2.2 二階控制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)與參數(shù)ζ的關(guān)系

設(shè)定ωn=10 rad/s 不變，改變參數(shù)ζ分別為0,0.25,1和2的二階控制系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)構(gòu)如圖3所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應(yīng)曲線如圖4所示。從圖中實(shí)驗數(shù)據(jù)分析可以看出，響應(yīng)曲線由上至下，依次為無阻尼等幅振蕩曲線，欠阻尼振蕩衰減曲線，臨界阻尼和過阻尼無超調(diào)單調(diào)上升曲線。當(dāng)0<ζ<1 時，二階控制系統(tǒng)欠阻尼狀態(tài)ζ變化的階躍響應(yīng)曲線如圖5所示。隨著ζ 的增大，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量減少，但上升時間加長，曲線峰值較大，因此，綜合考慮超調(diào)量和上升時間兩個因素，應(yīng)選擇ζ 接近最佳阻尼比0.707.

2.3 二階控制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)與參數(shù)ωn的關(guān)系

設(shè)定ζ=0.1 不變，改變參數(shù)ωn 分別為10 rad/s 和20 rad/s的二階控制系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)構(gòu)如圖6所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應(yīng)曲線如圖7所示。從圖中實(shí)驗數(shù)據(jù)分析可以看出，當(dāng)ζ=0.1 時，隨著ωn 的增大，系統(tǒng)單位響應(yīng)的振蕩周期變短，其調(diào)整時間也相應(yīng)地縮短;當(dāng)ζ≥1 時，系統(tǒng)變成臨界阻尼或欠阻尼系統(tǒng)，這時也有類似的結(jié)論，圖8所示為當(dāng)ζ=1時，ωn分別為10 rad/s和20 rad/s的二階控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。

3 結(jié)語

基于Matlab/Simulink 環(huán)境的仿真分析方法，通過Simulink工具箱所提供的基本模塊，不需任何硬件，在單位階躍信號作用，利用仿真實(shí)例很好地實(shí)現(xiàn)了對二階控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，直接觀察和分析二階控制系統(tǒng)輸出性能的變化，驗證了二階控制系統(tǒng)相關(guān)理論的正確性，在二階控制系統(tǒng)實(shí)驗教學(xué)和科研上有很大實(shí)用價值，充分體現(xiàn)了Matlab/Simulink仿真直觀和方便的特點(diǎn)。