《線性及開關(guān)電源的控制環(huán)路設(shè)計》是Power Electronics前專欄作者Christophe Basso的最新著作。此著作注重探討工程師真正需要了解的補償及穩(wěn)定給定控制系統(tǒng)的知識。本文包含此書有關(guān)穩(wěn)定性標準章節(jié)的摘錄內(nèi)容。

在電子領(lǐng)域，振蕩器是一種能夠產(chǎn)生自激正弦信號的電路。在多種多樣的配置中，振蕩器的加速過程牽涉到采用振蕩器的電子電路固有的噪聲。上電時噪聲等級上升，此時開始振蕩及自激。此類電路可采用圖1所示的構(gòu)成模塊組成。如您所視，此配置看上去非常接近于我們控制系統(tǒng)的配置。

圖1：振蕩器實質(zhì)上是一種誤差信號，不會妨礙輸出信號變化的控制系統(tǒng)。

在我們的示例中，勵磁輸入并非噪聲，而是電壓電平Vin，它被注入為輸入變量以啟動振蕩器。直接通道由傳遞函數(shù)H(s)構(gòu)成，而返回通道包含G(s)區(qū)塊。要分析此系統(tǒng)，我們首先通過輸出電壓與輸入變量的變化關(guān)系方程式來寫出其傳遞函數(shù)：

如果我們擴充此公式及Vout(s)項，我們就得到

故此類系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就是：

在此方程式中，乘積G(s)H(s)稱作環(huán)路增益，其標記為T(s)。要將我們的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為自激振蕩器，則必須存在輸出信號，即使輸入信號已消失。為了滿足這樣的目標，就必須符合下列條件：

要在Vin消失條件下驗證此方程式，商數(shù)(quotient)就必須無限大。商數(shù)無限大的條件就是特征方程式D(s)等于0：

要滿足此條件，G(s)H(s)必須等于-1。換句話說，環(huán)路增益的大小就必須為1，其符號應(yīng)當(dāng)改為負號。正弦信號的符號改變只不過是相位翻轉(zhuǎn)180°。這兩個條件能以下面兩個方程式來進行數(shù)學(xué)表述：

圖2：振蕩條件能以波特圖或奈奎斯特圖來表述。

在滿足這兩個方程式的條件下，我們就得到穩(wěn)態(tài)振蕩條件。這就是所謂的巴考森(Barkhausen)標準，由德國物理學(xué)家Barkhause在1921年提出。實際上講，在一個控制環(huán)路系統(tǒng)中，它表示修正信號不再抗拒輸出，而是相位形式返回，振幅恰好與勵磁信號相同。方程式(6)和(7) 在波特圖(Bode plot)中表示環(huán)路增益曲線，此曲線穿過0 dB軸，且恰好在此點受180°相位滯后影響。在奈奎斯特分析中，環(huán)路增益的虛數(shù)及實數(shù)部份相對頻率的變化關(guān)系被繪制成圖，此點對應(yīng)于-1, j0。圖2顯示了滿足振蕩條件的兩個曲線。如果系統(tǒng)略微偏離這些值(如溫度漂移、增益變化)，輸出振蕩要么會以指數(shù)形式下降至0，要么振幅發(fā)散，直到達到較高或較低的電源軌。在振蕩器中，設(shè)計人員竭力盡可能多地降低增益余量，使振蕩條件在多種工作條件下都能滿足。[!--empirenews.page--]

穩(wěn)定條件

如您所知，控制系統(tǒng)的目標不是構(gòu)建振蕩器。我們希望控制系統(tǒng)提供高速、精確及無振蕩的響應(yīng)。因此，我們必須避開滿足振蕩或發(fā)散條件的配置。一種方式是限制系統(tǒng)會作出反應(yīng)的頻率范圍。就定義而言，頻率范圍或帶寬，對應(yīng)于從輸入到輸出之閉合環(huán)路傳輸通道下降3 dB的頻率。閉合環(huán)路系統(tǒng)的帶寬能被視作頻率范圍，在此范圍內(nèi)系統(tǒng)被認為會極佳地響應(yīng)其輸入(即遵循設(shè)定點或有效地抑制擾動)。我們在后文會看到，在設(shè)計階段，我們并不直接控制閉合環(huán)路帶寬，但會控制交越頻率(crossover frequency) fc——這是一項跟開環(huán)路分析有關(guān)的參數(shù)。這兩個變量通常被概略認為相等，但我們會看到這僅在一種條件下成立。然而，它們相差得也不太遠，在討論中這兩項能互換。

我們已經(jīng)看到，開環(huán)路增益是我們系統(tǒng)中的一項重要參數(shù)。當(dāng)增益存在時(即|T(s)|>1)，系統(tǒng)以動態(tài)閉合環(huán)路工作，能補償輸入的擾動或?qū)υO(shè)定點變化作出反應(yīng)。然而，系統(tǒng)反應(yīng)也存在限制：系統(tǒng)必須在擾動信號所涉及的頻率提供增益。如果設(shè)定點變化的擾動太快，勵磁信號的頻率成分就低于系統(tǒng)帶寬，表示這些頻率缺少增益：系統(tǒng)變慢且不會作出反應(yīng)，工作狀態(tài)就像環(huán)路對波形變化沒有響應(yīng)。那么，是否就要求無限大的帶寬呢?不是的，因為增加帶寬就象是拓寬漏斗的直徑：您當(dāng)然可以收集到更多信息，并對輸入振動更快地作出反應(yīng)，但系統(tǒng)也將接收到偽信號(spurious signal)，如轉(zhuǎn)換器在某些情況下自己產(chǎn)生的噪聲及寄生參數(shù)(如開關(guān)電源中的輸出漣波)。因此，強制要求將帶寬限制在您應(yīng)用真正要求的范圍。采用的帶寬太寬將削弱系統(tǒng)的抗噪聲性能(如其抑制外部寄生信號的強固性)。

限制帶寬

我們怎樣限制控制系統(tǒng)的帶寬?方法就是通過補償器區(qū)塊G改變環(huán)路增益曲線。此區(qū)塊將確保在一定量的頻率fc后，環(huán)路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我們所闡述的，一旦環(huán)路閉合，它大致就是您的控制系統(tǒng)的帶寬。發(fā)生此現(xiàn)象時的頻率稱作交越頻率，標作fc。這就是否足夠獲得強健的系統(tǒng)?不是的，我們需要確保另一個重要參數(shù)：幅值為1的點的相位T(s)必須低于-180°。從我們的實驗來看，我們已經(jīng)看到當(dāng)環(huán)路增益在交越頻率處低于-180°時，我們獲得了朝穩(wěn)態(tài)收斂的響應(yīng)。這很明顯是我們控制系統(tǒng)極想要的一種特征。為了確保我們在交越時避開-180°，補償器G(s)必須在選定的交越頻率處訂制環(huán)路幅角(argument)以構(gòu)建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被視作一項設(shè)計或安全限制，確保在即使存在外部擾動或不可避免的生產(chǎn)差異范圍(production spread)的情況下，環(huán)路增益的變化不會破壞穩(wěn)定性。我們在后文會看到，相位余量還會影響系統(tǒng)的瞬時響應(yīng)。因此，相位余量的選擇并不只是取決于穩(wěn)定性考慮因素，還取決于您期望的瞬時響應(yīng)類型。相位余量的數(shù)學(xué)定義如下所示：

其中T代表開環(huán)路增益，其中包括分級的控體H和補償器G增益。

圖3中顯示了經(jīng)典補償?shù)牡湫铜h(huán)路增益曲線，其中顯示交越頻率為6.5 kHz。在此點，T(s)相位為-90°。如果您想在6.5 kHz時從-180°起步，并正向清點相位度數(shù)直至穿越幅角波形，您在此例中就得到90°的相位余量。這就是一個極為強健的系統(tǒng)，被認為在各種條件下都穩(wěn)定：即使在交越點附近環(huán)路增益有一定程度的變化，也沒有可能在相位余量太小的頻率交越。所謂的“太小”，我們指的是相位余量接近30°極限，低于此值時系統(tǒng)就提供不可接受的振鈴(ringing)響應(yīng)。這就是為什么您在上學(xué)時學(xué)習(xí)到45°是極限，此值相較于30°而言提供了額外的余量。我們稍后會看到這些數(shù)字的來源分析。[!--empirenews.page--]

圖3. 在此示例中，0 dB交越點位于6.5 kHz，此頻率時總相位滯后提供了90°的相位余量

增益余量及穩(wěn)定條件

圖4顯示了被補償轉(zhuǎn)換器的另一個典型頻率響應(yīng)，重點顯示了0 dB交越點及相位余量。我們根據(jù)經(jīng)驗可知，構(gòu)成轉(zhuǎn)換器的元件在產(chǎn)生生命周期內(nèi)會再現(xiàn)性能變化。這些變化可能是因正常的生產(chǎn)差異范圍引起的(如電阻或電容遭受逐批次公差不同的影響)。轉(zhuǎn)換器的環(huán)境工作條件也對元件有影響。在這些變量中，溫度充當(dāng)關(guān)鍵角色，影響被動或主動元件參數(shù)，如電容或電感等效串列電阻(ESR)、光耦電流傳遞比(CTR)或是雙極晶體管的beta值。這些變量影響環(huán)路增益，使其上升或下降，具體則取決于受影響的參數(shù)。

圖4. 環(huán)路增益會顯示出對溫度等外部參數(shù)的敏感性。出現(xiàn)變化時，相位余量必須始終保持在安全限制范圍內(nèi)。

如果增益曲線出現(xiàn)變化，0 dB交越頻率將過渡至新的值，為轉(zhuǎn)換器施加不同的帶寬。在這些變化條件下轉(zhuǎn)換器的穩(wěn)定性會受到怎樣的影響?如果新的交越頻率出現(xiàn)在相位余量較少的點，瞬時響應(yīng)性能可能下降，使過沖不再能被接受。因此，身為設(shè)計人員，你的責(zé)任就是確保這些差量(dispersion)在你接近-180°極限時不會突然增大增益。您需要充足的增益余量，其定義如下所示：

它對應(yīng)于恰好為-180°或弧度的頻率點(圖3中為1 MHz).

圖4描繪了由于所選擇元件生產(chǎn)差異范圍導(dǎo)致的±10 dB典型增益變化。它帶來了1.5 kHz至30 kHz的交越頻率。在此區(qū)域，相位余量從70°變?yōu)?5°，這些都是理論上的安全數(shù)字。最壞情況是什么?就是新的交越頻率在總相位滯后180°處出現(xiàn)。這條件在1 MHz時出來，表示有35 dB的正增益變化。

不太可能有大增益

有利的是，當(dāng)今電子電路中不太可能出現(xiàn)35 dB的增益變化。以前，在變壓器或伺服系統(tǒng)(servomechanism)采用真空管電路驅(qū)動的時候，上電序列期間的準備(warm-up)時間可能引起大的環(huán)路增益變化。因此，增益規(guī)定有必要排斥可能存在穩(wěn)定性風(fēng)險的第二個點。此總相位滯后達-180°的頻率處的環(huán)路增益曲線上可見這增益余量，在圖3中被標記為GM。在當(dāng)今電子電路中，高于10 dB的增益余量通常就足夠了，除非您的環(huán)路增益對外部參數(shù)極為敏感。

增益漂移的另一個示例如圖5所示。圖中顯示另一個被補償?shù)霓D(zhuǎn)換器在10 kHz時出現(xiàn)80°的相位余量。根據(jù)前文的討論，我們知道可能會出現(xiàn)增益變化，致使增益曲線上揚或下走。在我們的示例中，我們可以發(fā)現(xiàn)2 kHz附近一個區(qū)域的相位余量小到只有18°。如果出現(xiàn)20至25 dB的增益下降，你最后得到的控制系統(tǒng)就會出現(xiàn)相當(dāng)危險的約2 kHz的低相位余量。這就會導(dǎo)致振蕩響應(yīng)，很可能超出過沖規(guī)范。此類系統(tǒng)被認為是有條件穩(wěn)定。有利的是，如前所述，25 dB的增益變化并不常見，有這等增益余量的系統(tǒng)可被視為強健。然而，我看見過在一些設(shè)計案例中，最終使用者(您的客戶)在規(guī)范中清晰標明不接受有條件的設(shè)計，要求在低于交越頻率的所有點提供大于60°的相位余量。在這種情況下，就強制要求補償轉(zhuǎn)換器，使得無論什么工作條件下，低于交越頻率時都不存在相位余量降低的區(qū)域。[!--empirenews.page--]

圖5. 在此示例中，如果增益漂移至低于25 dB，曲線就在相位余量僅為18°的頻率點過0 dB軸。如此的相位余量將受大的過問影響，提供振蕩極大的響應(yīng)。這就是有條件穩(wěn)定的案例。

穩(wěn)定，或是不穩(wěn)定?

通常認為，在交越前相位下降至低于-180°的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。這樣的響應(yīng)如圖6所示。在1 kHz后相位曲線快速下降，并在1.5 kHz之后的數(shù)kHz范圍內(nèi)越過-180°的極限。然后相位曲線又上揚，在10 kHz時提供50°的相位余量。是的，此系統(tǒng)很穩(wěn)定，只不過是因為在0 dB時我們不滿足方程式(7)。要記住的是，要消除方程式(3)的分母，您必須使增益大小恰好等于1且相位滯后180°或更多。在圖中，我們可以看到任何點都不滿足此條件。然而，值得一提的是，此環(huán)路極具條件相關(guān)性。如果增益減少數(shù)dB，您的相位余量將變得低于45°。增益再下降10 dB，您將進入相位余量為0的危險區(qū)，這時會達到振蕩條件。

圖6. 相位滯後180°，但處於增益大於的區(qū)域。這並不構(gòu)成問題，其回應(yīng)可以接受。

注：本文經(jīng)出版商Artech House, Inc., Boston批準，節(jié)選自《線性及開關(guān)電源控制環(huán)路設(shè)計教程》(c) 2012一書。此書的主題包括：環(huán)路控制基礎(chǔ)、傳遞函數(shù)、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件、補償、以運算放大器為基礎(chǔ)的補償、以運算跨導(dǎo)放大器為基礎(chǔ)的補償、以TL431為基礎(chǔ)的補償、以為流穩(wěn)壓器為基礎(chǔ)的補償 、測量及設(shè)計實例。此書可以ArtechHouse.com、Amazon.com或BN.com上購買。