關(guān)鍵詞：Bode定理；Bode圖；回路增益

1 控制理論基礎(chǔ)

1．1 回路增益

對(duì)于一般負(fù)反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)方框圖如圖1所示。閉環(huán)傳遞函數(shù)C（s)/R(s)=G(s)/[1+G(s)H(s)]，其特征方程式為F(s)=1＋G(s)H(s)=0，特征方程式的根即為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。由此方程式可以看出G(s)H(s)項(xiàng)，其包含了所有關(guān)于閉環(huán)極點(diǎn)的信息，一般稱G(s)H(s)為回路增益。實(shí)際應(yīng)用中，可通過(guò)對(duì)回路增益Bode圖的分析來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，以達(dá)到閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。

1．2 Bode定理

Bode定理對(duì)于判定所謂最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及求取穩(wěn)定裕量是十分有用的。其內(nèi)容如下：

1）線性最小相位系統(tǒng)的幅相特性是一一對(duì)應(yīng)的，具體地說(shuō)，當(dāng)給定整個(gè)頻率區(qū)間上的對(duì)數(shù)幅頻特性（精確特性）的斜率時(shí)，同一區(qū)間上的對(duì)數(shù)相頻特性也就被唯一地確定了；同樣地，當(dāng)給定整個(gè)頻率區(qū)間上的相頻特性時(shí)，同一區(qū)間上的對(duì)數(shù)幅頻特性也被唯一地確定了；

2）在某一頻率（例如剪切頻率ωc）上的相位移，主要決定于同一頻率上的對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率；離該斜率越遠(yuǎn)，斜率對(duì)相位移的影響越??；某一頻率上的相位移與同一頻率上的對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率的大致對(duì)應(yīng)關(guān)系是，±20ndB/dec的斜率對(duì)應(yīng)于大約±n90°的相位移，n=0，1，2，…。

例如，如果在剪切頻率ωc上的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸進(jìn)線的斜率是－20dB/dec，那么ωc上的相位移就大約接近－90°；如果ωc上的幅頻漸近線的斜率是－40dB/dec，那么該點(diǎn)上的相位移就接近－180°。在后一種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)或者是不穩(wěn)定的，或者只具有不大的穩(wěn)定裕量。

在實(shí)際工程中，為了使系統(tǒng)具有相當(dāng)?shù)南辔辉Ａ?，往往這樣設(shè)計(jì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，即使幅頻漸近線以－20dB/dec的斜率通過(guò)剪切點(diǎn)，并且至少在剪切頻率的左右，從ωc/4到2ωc的這段頻率范圍內(nèi)保持上述漸近線斜率不變。

2 逆變器電壓環(huán)傳遞函數(shù)（建模）

一個(gè)逆變器的直流輸入電壓24V，交流輸出電壓110V，頻率400Hz，電路開(kāi)關(guān)頻率40kHz，功率500W。其控制至輸出整個(gè)電壓環(huán)的電路結(jié)構(gòu)如圖2所示?，F(xiàn)求其回路增益。

2．1 驅(qū)動(dòng)信號(hào)d（s）至輸出Vo?s）的傳遞函數(shù)

1）驅(qū)動(dòng)信號(hào)d為SPWM脈沖調(diào)制波，加在IGBT管的柵極（G）上，而輸入母線電壓Vin加在管子的集電極（C）和發(fā)射極（E）兩端，根據(jù)圖2所示結(jié)構(gòu)，輸出電壓Vd與驅(qū)動(dòng)d之間相差一個(gè)比例系數(shù)，設(shè)為K1，則K1=。在具體的逆變器電路中，母線電壓Vin為±200V，驅(qū)動(dòng)信號(hào)為12V，代入可得K1=400/12=33.33。2）LC低通濾波網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)推導(dǎo)可得=Vo(s)/Vo'(s)=1/(s2LC+1)，其中L=3mH，C=2μF。

    綜上，驅(qū)動(dòng)信號(hào)d（s）至輸出Vo（s）的傳遞函數(shù)為Vo(s)/d(s)=G1(s)=K1/(s2LC+1)；

2．2 輸出Vo（s）至反饋信號(hào)B（s）的傳遞函數(shù)H（s）

1）輸出電壓采樣變壓器的傳遞函數(shù)為一個(gè)比例系數(shù)，即其變比，設(shè)為K2，即V'o(s)/Vo(s)=K2，具體電路中，K2=18/110=0.164。

2）電阻電容分壓網(wǎng)絡(luò)如圖2虛線框所示，其傳遞函數(shù)為=B(s)/V'o(s)=1/(sR1C2+R1/R2+1)，其中R1=820Ω，R2=5.1kΩ，C2=10nF。

綜上，Vo（s）至B（s）的傳遞函數(shù)H(s)=B(s)/Vo(s)=K2/(sR1C2+R1/R2+1)；

2.3 脈寬調(diào)制器（PWM）傳遞函數(shù)Gd(s)

一般PWM調(diào)制器的傳遞函數(shù)為Gd(s)==，其中Vm為三角波最大振幅。在具體電路中，反饋信號(hào)與基準(zhǔn)正弦波信號(hào)送入差動(dòng)放大器，輸出誤差信號(hào)再與標(biāo)準(zhǔn)三角波比較，生成SPWM驅(qū)動(dòng)信號(hào)。此處所用三角波的振幅為Vm=3V。

    綜上，在未加入補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)之前，整個(gè)回路增益為

G（s）=G1(s)H(s)Gd(s)

=K1/(s2LC+1)[K2/(sR1C2+R1/R2+1)(1/Vm)

=1.569/[(6×10-9s2+1)(7×10 -6s+1)

繪制其幅頻Bode圖，如圖3所示。

3 補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

由前述Bode定理，補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)加入后的回路增益應(yīng)滿足，幅頻漸近線以－20dB/dec的斜率穿過(guò)剪切點(diǎn)（ωc點(diǎn)），并且至少在剪切頻率左右從到2ωc的范圍內(nèi)保持此斜率不變。

由此要求，首先選擇剪切頻率。實(shí)際應(yīng)用中，選fc=fs/5為宜，其中fs為逆變器工作頻率或開(kāi)關(guān)管開(kāi)關(guān)頻率。具體逆變器中，開(kāi)關(guān)頻率為40kHz，則fc=40/5=8kHz。

在未加補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)之前的回路增益Bode圖如圖3所示，在fc=8kHz處的增益為－20.17dB，由此，補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)應(yīng)滿足如下條件，即在fc=8kHz處的增益為＋20.17dB，斜率為＋20dB/dec，而且，此斜率在fc/4=2kHz與2fc=16kHz（取15kHz）的范圍內(nèi)保持不變。補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的Bode圖如圖4所示（幅頻）。

由圖4可得：f1=2kHz處，G(ω)=20lg(2πf1)=8.129dB或者2.55（倍數(shù)）=AV1，f2=15kHz處，G(ω)=20lg(2πf2)=25.63dB或者19.12（倍數(shù)）=AV2，兩個(gè)零值對(duì)應(yīng)頻率為fz1=fz2=2kHz，一個(gè)極值在fp1=15kHz處，另一個(gè)極值在fp2=20kHz處?？紤]選用如圖5所示補(bǔ)償放大器時(shí)，其電阻電容參數(shù)值可計(jì)算如下：

取R3=5.1kΩ，R0=39kΩ，則R2=R3AV2=97.5kΩ，C2=1/(2πfp2R2)=81.6pF，C1==816pF，R1=1/(2πfp1R3)=39kΩ，C3=π=2040pF。

實(shí)際電路中，取R2=100kΩ，C2=100pF，C1=800pF，R1=39kΩ，C3=2200pF。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將上面補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)加入后，逆變器可帶滿載并穩(wěn)定工作，其IGBT管兩端電壓vCE及輸出電壓vo的波形如圖6所示，電路工作條件為：功率P=500W（滿載），母線電壓Vin=±180V。

5 結(jié)語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，將控制理論的頻率響應(yīng)法應(yīng)用于逆變器電壓單環(huán)反饋控制設(shè)計(jì)有其直觀簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)易于實(shí)現(xiàn)。逆變器電路加入補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)后其穩(wěn)定性有所改善。不足之處在于，輸出波形在非線性負(fù)載及負(fù)載變化較大時(shí)畸變明顯，需要尋求更好的調(diào)節(jié)方法來(lái)改善。