簡介
放大器的仿真模型通常是利用電阻、電容、晶體管、二極管、獨立和非獨立的信號源以及其它模擬元件來實現(xiàn)的。一種替代方法是使用放大器行為的二階近似（拉普拉斯轉(zhuǎn)換），這可加快仿真速度并將仿真代碼減少到三行。

然而，對于高帶寬放大器，采用s域傳遞函數(shù)的時域仿真可能非常慢，因為仿真器必須首先計算逆變換，然后利用輸入信號對其進行卷積。帶寬越高，則確定時域函數(shù)所需的采樣頻率也越高，這將導致卷積計算更加困難，進而減慢時域仿真速度。

本文進一步完善了上述方法，將二階近似合成為模擬濾波器，而不是 s域傳遞函數(shù)，從而大大提高時域仿真速度，特別是對于高帶寬放大器。

二階傳遞函數(shù)
放大器仿真模型的二階傳遞函數(shù)可以利用Sallen-Key濾波器拓撲實現(xiàn)，它需要兩個電阻、兩個電容和一個壓控電流源；或者利用多反饋(MFB)濾波器拓撲實現(xiàn)，它需要三個電阻、兩個電容和一個壓控電流源。這兩種拓撲給出的結果應相同，但Sallen-Key拓撲更易于設計，而MFB拓撲則具有更好的高頻響應性能，可能更適合可編程增益放大器，因為它更容易切換到不同的電阻值。

首先，利用二階近似的標準形式為放大器的頻率和瞬態(tài)響應建模：

圖1顯示了如何轉(zhuǎn)換到Sallen-Key和多反饋拓撲。

圖1. 濾波器拓撲結構

放大器的自然無阻尼頻率ω_n等于濾波器的轉(zhuǎn)折頻率 ω_c，放大器的阻尼比ζ 則等于 ½乘以濾波器品質(zhì)因素Q 的倒數(shù)。對于雙極點濾波器， Q 表示極點到jω軸的徑向距離；Q 值越大，則說明極點離 jω軸越近。對于放大器，阻尼比越大，則峰化越低。這些關系為 s域 (s = jω) 傳遞函數(shù)與模擬濾波器電路提供了有用的等效轉(zhuǎn)換途徑。

設計示例：5倍增益放大器
該設計主要包括三步：首先，測量放大器的過沖(M_p) 和建立時間 (t_s)。其次，利用這些測量結果計算放大器傳遞函數(shù)的二階近似。最后，將該傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器拓撲以產(chǎn)生放大器的SPICE模型。

圖2. 5倍增益放大器

例如，利用Sallen-Key和MFB兩種拓撲仿真一款5倍增益放大器。從圖2可知，過沖(M_p) 約為22%，2%建立時間則約為2.18 μs。阻尼比ζ計算如下：

重排各項以求解ζ：

接下來，利用建立時間計算自然無阻尼頻率（單位為弧度/秒）。

對于階躍輸入，傳遞函數(shù)分母中的 s² 和 s 項（弧度/秒）通過下式計算：

和

單位增益?zhèn)鬟f函數(shù)即變?yōu)椋?/p>

將階躍函數(shù)乘以5便得到5倍增益放大器的最終傳遞函數(shù)：

下面的網(wǎng)絡列表模擬5倍增益放大器傳遞函數(shù)的拉普拉斯變換。轉(zhuǎn)換為濾波器拓撲之前，最好運行仿真以驗證拉普拉斯變換，并根據(jù)需要延長或縮短建立時間以調(diào)整帶寬。

***GAIN_OF_5 TRANSFER FUNCTION***

.SUBCKT SECOND_ORDER +IN –IN OUT

E1 OUT 0 LAPLACE {V(+IN) – V(–IN)} = {89.371E12 / (S^2 + 3.670E6*S + 17.874E12)}

.END

圖3所示為時域的仿真結果。圖4所示為頻域的仿真結果。

圖3. 5倍增益放大器：時域仿真結果

圖4. 5倍增益放大器：頻域仿真結果

脈沖響應的峰化使得我們可以輕松保持恒定的阻尼比，同時可改變建立時間以調(diào)整帶寬。這將改變復數(shù)共軛極點對相對于實軸的角度，改變量等于阻尼比的反余弦值，如圖5所示?？s短建立時間會增加帶寬，延長建立時間則會減少帶寬。只要阻尼比保持不變且僅調(diào)整建立時間，則峰化和增益不受影響，如圖6所示。

圖5. 5倍增益?zhèn)鬟f函數(shù)的復數(shù)共軛極點對

圖6. 建立時間調(diào)整與帶寬的關系

一旦傳遞函數(shù)與實際放大器的特性一致，就可以將其轉(zhuǎn)換為濾波器拓撲。本例將使用Sallen-Key和MFB兩種拓撲。

首先，利用單位增益Sallen-Key拓撲的正則形式將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為電阻和電容值。

根據(jù) s項可以計算 C₁：

選擇易于獲得的電阻值，例如R₁ 和 R₂均為10 kΩ，然后計算 C₁。

利用轉(zhuǎn)折頻率的關系式求解C₂。

相應的網(wǎng)絡列表如下文所示，Sallen-Key電路則如圖7所示。E1乘以階躍函數(shù)以獲得5倍增益。Ro提供2 Ω輸出阻抗。 G1 是增益為 120 dB的VCCS。 E2為差分輸入模塊。頻率與增益的仿真與采用拉普拉斯變換的仿真完全相同。

.SUBCKT SALLEN_KEY +IN –IN OUT

R1 1 4 10E3

R2 5 1 10E3

C2 5 0 10.27E–12

C1 2 1 54.5E–12

G1 0 2 5 2 1E6

E2 4 0 +IN –IN 1

E1 3 0 2 0 5

RO OUT 3 2

.END

圖7. 采用Sallen-Key濾波器的5倍增益放大器仿真電路

接下來，利用MFB拓撲的標準形式將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為電阻和電容值。

從計算R₂開始轉(zhuǎn)換。為此，可以將傳遞函數(shù)改寫為以下更為通用的形式：

設置 C₁ = 10 nF，然后選擇C₂ ，使得根號下的量為正數(shù)。為方便起見，選擇C₂ 為 10 pF。代入已知值 C₂ = 10 pF、 a₁ = 3.67E6、K = 5、 a₀ = 17.86E12 ，計算R₂值：

R₁ 的值很容易計算，等于 R₂/K = R₂/5 = 33。根據(jù)標準多項式系數(shù)可求解 R₃。代入a₀、R₂和 C₂ 的已知值可得：

最后，驗證元件比是否正確，即代入a₀、R₂、 R₃、增益K和 C₂ (從s 項求得)的已知值時，C₁ 應等于10 nF。

得出元件值后，再代入方程式中，驗證多項式系數(shù)在數(shù)學上是否正確。利用電子表格計算器就能輕松完成這項工作。所示的元件值是可以用于最終SPICE模型的實際值。實際應用中，應確保最小電容值不低于10 pF。

5倍增益放大器的網(wǎng)絡列表如下文所示，模型則如圖8所示。G1是開環(huán)增益為120 dB的VCCS（壓控電流源）。注意，如果使用電阻、電容、二極管和非獨立源，所需的元件數(shù)將多得多。

.SUBCKT MFB +IN –IN OUT

***VCCS – 120 dB OPEN_LOOP_GAIN***

G1 0 7 0 6 1E6

R1 4 3 330

R3 6 4 34K

C2 7 6 1P

C1 0 4 1N

R2 7 4 1.65K

E2 3 0 +IN –IN 1

E1 9 0 7 0 –1

***OUTPUT_IMPEDANCE RO = 2 Ω***

RO OUT 9 2

.END

圖8. 采用MFB濾波器的5倍增益放大器仿真電路

設計示例：10倍增益放大器
在第二個示例中，考慮一個無過沖10倍增益放大器的脈沖響應，如圖9所示。建立時間約為7 μs。由于無過沖，脈沖響應可以近似為具有臨界阻尼， ζ ≈ 0.935 (M_p = 0.025%)。

圖9. 無過沖10倍增益放大器

在無過沖的情況下，很容易保持恒定的建立時間，并調(diào)整阻尼比以模擬正確的帶寬和峰化。圖10顯示了極點如何隨阻尼比而變化，與此同時建立時間保持不變。圖11顯示了頻率響應的變化情況。

圖10. 不同阻尼比對應的極點位置，建立時間保持不變

圖11. 不同阻尼比對應的頻率響應，建立時間保持不變

***AD8208 PREAMPLIFIER_TRANSFER_FUNCTION (GAIN = 20 dB)***

.SUBCKT PREAMPLIFIER_GAIN_10 +IN –IN OUT

E1 OUT 0 LAPLACE {V(+IN)–V(–IN)} = {3.734E12 / (S^2 + 1.143E6*S + 373.379E9)}

.END

為求得單位增益拓撲的電阻和電容值，請像前面一樣選擇R₁ = R₂ = 10 kΩ 。利用與5倍增益放大器示例相同的方法計算電容值：

網(wǎng)絡列表如下文所示，Sallen-Key仿真電路模型則如圖12所示。E2是一個10倍增益模塊，與一個2 Ω輸出阻抗一起置于輸出級。E2將單位增益?zhèn)鬟f函數(shù)放大10倍。拉普拉斯變換和Sallen-Key網(wǎng)絡列表產(chǎn)生的仿真相同，如圖13所示。

***AD8208 PREAMPLIFIER_TRANSFER_FUNCTION (GAIN = 20 dB)***

.SUBCKT AMPLIFIER_GAIN_10_SALLEN_KEY +IN –IN OUT

R1 1 4 10E3

R2 5 1 10E3

C2 5 0 153E–12

C1 2 1 175E–12

G1 0 2 5 2 1E6

E2 4 0 +IN –IN 10

E1 3 0 2 0 1

RO OUT 3 2

.END

圖12. 采用Sallen-Key濾波器的10倍增益放大器仿真電路

圖13. 采用Sallen-Key濾波器的10倍增益放大器的頻域仿真

利用MFB拓撲可以進行相似的推導。網(wǎng)絡列表如下文所示，仿真模型則如圖14所示。

***AD8208 PREAMPLIFIER_TRANSFER_FUNCTION (GAIN = 20 dB)***

.SUBCKT 8208_MFB +IN –IN OUT

***G1 = VCCS WITH 120 dB OPEN_LOOP_GAIN***

G1 0 7 0 6 1E6

R1 4 3 994.7

R2 7 4 9.95K

R3 6 4 26.93K

C1 0 4 1N

C2 7 6 10P

EIN_STAGE 3 0 +IN –IN 1

***E2 = OUTPUT BUFFER***

E2 9 0 7 0 1

***OUTPUT RESISTANCE = 2 Ω***

RO OUT 9 2

.END

圖14. 采用MFB濾波器的10倍增益放大器仿真電路

結束語
對于高帶寬放大器，與利用s域（拉普拉斯變換）傳遞函數(shù)相比，利用模擬元件構建SPICE模型能夠提供快得多的時域仿真。Sallen-Key和MFB低通濾波器拓撲提供了一種將s域傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為電阻、電容和壓控電流源的方法。

MFB拓撲的非理想操作來源于 C₁ 和 C₂ 在高頻時表現(xiàn)為相對于電阻R₁、 R₂和R₃的阻抗短路。同樣，Sallen-Key拓撲的非理想操作來源于C₁ 和 C₂ 在高頻時表現(xiàn)為相對于電阻 R₁ 和 R₂的阻抗短路。這兩種拓撲的對比如圖15所示。

現(xiàn)有常用于CMRR、PSRR、失調(diào)電壓、電源電流、頻譜噪聲、輸入/輸出限幅及其它參數(shù)的電路可以與該模型合并，如圖16所示。

圖15. Sallen-Key和MFB拓撲的波特圖

圖16. 包括誤差項的完整SPICE放大器模型

參考文獻
Karpaty, David. “Create Spice Amplifier Models Using Second-Order Approximations.” Electronic Design, September 22, 2010.

作者簡介

David Karpaty [david.karpaty@analog.com] 是ADI公司集成放大器產(chǎn)品(IAP)部門的高級工程師。他負責精密信號處理器件的產(chǎn)品和測試工程支持，側重于汽車應用產(chǎn)品。David擁有美國東北大學電氣工程學士學位和溫特沃斯理工學院電氣工程技術學士學位。

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