歐姆定律和Kirchhoff電壓定律(KVL)是進(jìn)行常規(guī)電路分析(網(wǎng)格分析)的強(qiáng)有力的工具。然而，如果電路中存在時(shí)變磁場(chǎng)，則必須采用法拉第定律。為了計(jì)算時(shí)變磁場(chǎng)導(dǎo)致的額外電流，必須在歐姆定律和KVL中增加一項(xiàng)。將法拉第定律引入電路分析等式將導(dǎo)致意想不到的異?，F(xiàn)象：電路的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間看似同時(shí)存在兩個(gè)電壓，并且電壓似乎取決于電壓表探針的位置。

非時(shí)變磁場(chǎng)中的電路分析(回顧)

不存在磁場(chǎng)時(shí)，通常用KVL和歐姆定律基于網(wǎng)格技術(shù)進(jìn)行電路分析。如一般課本中所述，KVL指出閉合回路中各段電壓的代數(shù)和等于零(式1)。

考慮圖1所示電路磁場(chǎng)關(guān)閉時(shí)的情況。如果用電壓表測(cè)量回路中任一元件兩端的電壓，則所有電壓的總和等于零，和KVL (式2)所指出的一致。(注意：如果以順時(shí)針為計(jì)算參考方向，則電阻兩端電壓為負(fù)。)

圖1. 為說明隨時(shí)間變化磁場(chǎng)的影響，考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的閉合回路(由一個(gè)電池和兩個(gè)電阻器組成)在有或無磁場(chǎng)時(shí)的響應(yīng)。

可用歐姆定律和KVL求出圖1中的參數(shù)值。首先，將式3和4代入式2，得到計(jì)算回路電流的等式。 然后根據(jù)式5計(jì)算出電流。

注意：KVL可以寫成積分形式。電磁理論課本中將電壓定義為電場(chǎng)(E)沿路徑(dl) (如圖1中結(jié)點(diǎn)A到結(jié)點(diǎn)C)的向量積分(式6)。不存在磁場(chǎng)時(shí)，從結(jié)點(diǎn)A沿C到E再回到A的圍線積分等于零(式7)。因此，Kirchhoff電壓定律可以寫成積分形式：電場(chǎng)的圍線積分等于零。

時(shí)變磁場(chǎng)中的電路分析

現(xiàn)在，打開圖1中的磁場(chǎng)。該磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，將在回路中產(chǎn)生電流，這種情況下要使用法拉第定律。法拉第定律的定義為：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)沿閉合回路切向方向的積分等于穿過該閉合回路的磁通量的變化率(式8)：

其中B是磁場(chǎng)，A是該閉合回路的截面積，F(xiàn)是通過該區(qū)域的總磁通量。電感電流的方向取決于磁場(chǎng)方向。如圖1所示，如果變化的磁場(chǎng)方向是指向頁面外，則產(chǎn)生的電流為順時(shí)針方向。這時(shí)的總電流是電池電流(I_U1)和磁感應(yīng)電流(I_MAG)的總和：

此時(shí)必須對(duì)歐姆定律進(jìn)行修改(擴(kuò)展)，以計(jì)算額外的電流：

KVL也必須擴(kuò)展。比較式1、式7和式8可以看出，在式1的右側(cè)增加一個(gè)-d/dt項(xiàng)即可擴(kuò)展KVL：

重新整理等式2至5，使之包括隨時(shí)變磁場(chǎng)的分量：

這樣一來，等式1至5已擴(kuò)展為等式11至15，可以用來計(jì)算磁場(chǎng)產(chǎn)生的電流。等式11是擴(kuò)展后的KVL定律，等式15是擴(kuò)展后的歐姆定律，d/dt項(xiàng)的符號(hào)表示電流的方向。這些等式看似很簡(jiǎn)單，但描述的現(xiàn)象似乎互相矛盾。

使用等式12至15， 考慮分析圖1所示帶有時(shí)變磁場(chǎng)的電路。 電壓U₁ (結(jié)點(diǎn)A-F)為V_AF = U₁。 但是，V_AF也等于回路電流乘以兩個(gè)電阻的阻值：

結(jié)點(diǎn)A-F現(xiàn)在有兩種可能的電壓。實(shí)際上，圖1中包含一個(gè)元件的每對(duì)結(jié)點(diǎn)都有兩種可能的電壓。參見等式16至25。為進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較，任意設(shè)置U₁ = 2V， d/dt = 1V， R₁ = 2k， R₂ = 4k . 那么，由等式15可得回路電流為0.5mA.

結(jié)點(diǎn)B-C需特別關(guān)注，因?yàn)橥ㄟ^R₁的電流是非零的，然而其兩端的電壓可以為零。與之類似，結(jié)點(diǎn)E-F是一根短接線(零歐姆)，然而其上的電壓卻是非零的。那么究竟哪個(gè)電壓正確？根據(jù)數(shù)學(xué)理論可以得到答案。這兩個(gè)電壓同時(shí)存在! 從數(shù)學(xué)上來說，得到的電壓取決于測(cè)量時(shí)采用的積分路徑。切記電壓是電場(chǎng)沿特定路徑的向量積分。如果存在一個(gè)時(shí)變磁場(chǎng)，則積分是由路徑而定的。簡(jiǎn)而言之，電壓取決于測(cè)量電路(電壓表)與結(jié)點(diǎn)的連接方式。

如圖2所示，用電壓表#1在左側(cè)測(cè)量結(jié)點(diǎn)A-F，測(cè)得U₁ = 2V。相反，用電壓表#2在右側(cè)測(cè)量結(jié)點(diǎn)A-F (B-E同A-F一樣)，結(jié)果如下：

圖2. 用兩個(gè)電壓表測(cè)量同一對(duì)結(jié)點(diǎn)，但測(cè)得的電壓不同。電壓表#1測(cè)得的是U₁中電場(chǎng)的積分，電壓表#2測(cè)得的是R₁和R₂中電場(chǎng)的積分。

與常見誤解相反的是，產(chǎn)生的電壓并非分布在連接電阻器的導(dǎo)線中，而是在電阻器之內(nèi)。導(dǎo)線中的電場(chǎng)積分是零，因此導(dǎo)線兩端電壓為零。將電壓表#1探針的接觸點(diǎn)從A滑向B，實(shí)驗(yàn)證明連接導(dǎo)線上的電壓降為零。因此，電壓表#1的電壓不變。同樣，探針接觸點(diǎn)從F滑向E時(shí)電壓表#1電壓不變。對(duì)電壓表#2進(jìn)行同樣的操作：探針觸點(diǎn)從B到A或從E到F時(shí)讀數(shù)不變。注意電壓表探針位置應(yīng)合適，使磁場(chǎng)干擾減到最小。

測(cè)得的電壓看似取決于探針位置。電壓表#1的作用像一個(gè)電場(chǎng)積分器，對(duì)電池U₁的電場(chǎng)進(jìn)行積分。電壓表#2對(duì)R₁和R₂中的電場(chǎng)進(jìn)行積分。選擇不同的積分路徑，測(cè)量出的電壓也不同。

可以用另一個(gè)例子來證明電壓對(duì)位置的這種依賴性。考慮圖3所示電路，當(dāng)音頻信號(hào)(1kHz正弦波)被音量控制電位器(R₁)衰減并饋送到音頻放大器時(shí)，用頻譜分析儀分析其輸出。旁邊的一個(gè)電動(dòng)機(jī)會(huì)在由R₁和音頻信號(hào)源形成的回路中產(chǎn)生磁場(chǎng)干擾。為簡(jiǎn)化電路，R₁用串聯(lián)的1k和10k電阻器替換; 磁通量穿過的回路面積被有意擴(kuò)大至一平方英寸。對(duì)以下兩種物理布局進(jìn)行了測(cè)試(圖4)。

圖3. 用來演示電磁干擾如何降低音頻質(zhì)量的音頻應(yīng)用電路。

圖4. 從10k電阻器附近引出地線(a)或在回路頂層設(shè)置地線(b)，音量控制電路的物理布局對(duì)電磁干擾有影響。

圖5a和5b給出了音頻放大器的輸出頻譜曲線。兩種情況下使用同一個(gè)1kHz音頻測(cè)試信號(hào)，但300Hz電機(jī)干擾的振幅僅取決于地線連接方式。采用圖4a所示連接時(shí)電磁干擾最嚴(yán)重(-62dBc)，這時(shí)音頻放大器接收的干擾電壓來自10k電阻器(圖5a)。音頻放大器等效為電場(chǎng)積分器，對(duì)10k電阻器中的電場(chǎng)進(jìn)行積分。另一方面，圖5b (在圖4b基礎(chǔ)上的輸出頻譜)顯示的是來自1k電阻器的干擾電壓。該曲線的干擾較小(-78.5dBc)，表明有16.5dB的改善。(期望的干擾差值是20dB，因?yàn)殡娮杵鞅仁?0:1。然而，音頻放大器輸入阻抗的負(fù)載效用降低了干擾振幅，如圖5a。)

圖5a. 圖4a電路中來自電動(dòng)機(jī)的電磁干擾導(dǎo)致300Hz處出現(xiàn)一個(gè)峰值，低于音頻測(cè)試信號(hào)約62dBc。

圖5b. 圖4b電路中來自電動(dòng)機(jī)的電磁干擾導(dǎo)致300Hz處出現(xiàn)一個(gè)峰值，低于音頻測(cè)試信號(hào)約78.5dBc - 比圖5a電路減小了16.5dB。

這一現(xiàn)象以實(shí)驗(yàn)的方式驗(yàn)證了附錄A中兩個(gè)電壓的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。注意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的電壓并無明確定義;它可以是兩電壓之一，具體取決于導(dǎo)線的排布。該實(shí)驗(yàn)表明，兩結(jié)點(diǎn)之間的電壓不再是一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)表達(dá)式，而是沿一個(gè)給定路徑對(duì)電場(chǎng)向量的積分。由于積分取決于路徑或位置，因此沿不同積分路徑將產(chǎn)生不同的電壓。上文中所述的等式9至15不能清楚地揭示出電壓對(duì)位置的依賴性，使用時(shí)必須謹(jǐn)慎。

存在電磁干擾時(shí)的PCB布局

重申上文結(jié)論，來自某些元件(如電動(dòng)機(jī)和開關(guān)電源中的功率電感)的電磁干擾可能導(dǎo)致系統(tǒng)噪聲。良好的PCB布局可使這種干擾減到最小。

規(guī)則#1: 使磁性元件遠(yuǎn)離噪聲敏感電路。規(guī)則#2: 將回路中的電子元件(IC，電阻器，電容器等)布局在一起，以使回路面積減到最小。規(guī)則#3: 用經(jīng)過上文分析確認(rèn)能將電磁干擾降至最低的的方式連接地線。規(guī)則#4: 如果規(guī)則#3中地線的連接方式不容易被確認(rèn)，則改為使用大面積地平面。實(shí)驗(yàn)表明，大面積地平面可降低電磁干擾。

結(jié)束語

如果不存在時(shí)變磁場(chǎng)，則可以放心地用Kirchhoff電壓定律和歐姆定律進(jìn)行電路分析。但如果存在這樣的磁場(chǎng)，則必須借助法拉第定律擴(kuò)展KVL和歐姆定律。如上文所述，時(shí)變磁場(chǎng)可導(dǎo)致一對(duì)結(jié)點(diǎn)之間同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)電壓。雙電壓的影響似乎取決于電壓表探針的位置，這使得該“電壓”很不確定。兩結(jié)點(diǎn)之間的電壓不再單純以代數(shù)或數(shù)字形式表達(dá)，而是一個(gè)復(fù)合向量積分，還和路徑相關(guān)。因此，了解磁場(chǎng)如何導(dǎo)致電路中的噪聲可幫助PCB設(shè)計(jì)人員更好的放置元件以使電磁干擾減到最小。

附錄A

為簡(jiǎn)單起見，我們?cè)O(shè)置圖1中的U₁為零。(然而，在以下討論中U₁可以不必為零。)根據(jù)圖1重新畫出圖A1，圖中帶有電壓表并存在一個(gè)時(shí)變磁場(chǎng)。

圖A1. 該電路顯示時(shí)變磁場(chǎng)如何導(dǎo)致結(jié)點(diǎn)A-B之間出現(xiàn)兩個(gè)不同電壓，如兩個(gè)電壓表測(cè)量所示。

圖A1中電阻器兩端電壓可以用法拉第定律和歐姆定律得出。我們將電壓定義為電場(chǎng)強(qiáng)度(E)沿路徑dl (從結(jié)點(diǎn)A到B，沿路徑C)的向量積分的內(nèi)積。根據(jù)圖A1，從等式A1和A2可以求出V₁和V₂。

從V₁減去V₂得到等式A3。將該等式右側(cè)項(xiàng)的積分路徑改為從B到A (而不是從A到B)，同時(shí)該項(xiàng)的符號(hào)也跟著改變，等式A3變?yōu)榈仁紸4。

等式A4的右側(cè)是電場(chǎng)圍繞包含磁場(chǎng)的閉合回路一周的圍線積分(用磁通量密度B表示)。根據(jù)法拉第定律，等式A5與等式A4是等效的。

因此可以得出下式：

其中A是回路面積，是通過該區(qū)域的總磁通量。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)磁場(chǎng)隨時(shí)間線性增加，則d/dt = 。

流過兩個(gè)電阻器的電流是相同的，并且等式A7通過歐姆定律給出了電壓降與電流的關(guān)系。注意其方向與電流的積分方向一致。將等式A7兩邊的積分路徑都改為從結(jié)點(diǎn)A到B，并給R₁項(xiàng)增加一個(gè)負(fù)號(hào)，重新整理后得到等式A8。

由于C1和C1'形成的閉合回路不包括磁場(chǎng)，因此沿路徑C1的積分與沿C1'積分相同。同樣，C2'可以用C2替換。然后將V₁和V₂的表達(dá)式(等式A₁和A₂)代入等式A8，得到等式A9。最后得出聯(lián)立等式A6和A9，從而得到我們想要的電壓V₁和V₂的表達(dá)式(等式A10和A11)。

注意V₁和V₂的極性是相反的。 另外，電阻器兩端電壓是電場(chǎng)沿某路徑的積分。如果d/dt 0，則積分值與路徑相關(guān)。這種效果是非守恒電場(chǎng)所導(dǎo)致的。從結(jié)點(diǎn)A到B沿路徑C1對(duì)電場(chǎng)積分(圖A1)，可以得到一個(gè)與沿路徑C2積分不同的值。因此，測(cè)得的電壓取決于電壓表所監(jiān)測(cè)的路徑。

參考文獻(xiàn)

¹Robert H. Romer, "What do 'Voltmeters' Measure? Faraday's Law in a Multiply-Connected Region," American Journal of Physics. Vol. 50, No. 12 (Dec. 1982), pp. 1089-1093.