一、關(guān)于多采樣率數(shù)字濾波器

很明顯從字面意思上可以理解，多采樣率嘛，就是有多個(gè)采樣率唄。前面所說的FIR，IIR濾波器都是只有一個(gè)采樣頻率，是固定不變的采樣率，然而有些情況下需要不同采樣頻率下的信號(hào)，具體例子我也不解釋了，我們大學(xué)課本上多速率數(shù)字信號(hào)處理這一章也都舉了不少的例子。

按照傳統(tǒng)的速率轉(zhuǎn)換理論，我們要實(shí)現(xiàn)采樣速率的轉(zhuǎn)換，可以這樣做，假如有一個(gè)有用的正弦波模擬信號(hào)，AD采樣速率是f1，現(xiàn)在我需要用到的是采樣頻率是f2的信號(hào)，傳統(tǒng)做法是將這個(gè)經(jīng)過f1采樣后的信號(hào)進(jìn)行DA轉(zhuǎn)換，再將轉(zhuǎn)換后的模擬信號(hào)進(jìn)行以f2采樣頻率的抽樣，得到采樣率為f2的數(shù)字信號(hào)，至此完成采樣頻率的轉(zhuǎn)換

但是這樣的做法不僅麻煩，而且處理不好的話會(huì)使信號(hào)受到損傷，所以這種思想就被淘汰了，現(xiàn)在我們用到的采樣率轉(zhuǎn)換的方法就是抽取與內(nèi)插的思想。

二、抽取

先來總體來解釋一下抽取的含義：前面不是說，一個(gè)有用的正弦波模擬信號(hào)經(jīng)采樣頻率為f1的抽樣信號(hào)抽樣后得到了數(shù)字信號(hào)，很明顯這個(gè)數(shù)字信號(hào)序列是在f1頻率下得到的，現(xiàn)在，假如我隔幾個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)信號(hào)，比如就是5吧，我隔5個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)信號(hào)，是不是就是相當(dāng)于我采用了1/5倍f1的采樣頻率對模擬信號(hào)進(jìn)行采樣了？所以，抽取的過程就是降低抽樣率的過程，但是我們知道，這是在時(shí)域的抽樣，時(shí)域的抽樣等于信號(hào)在頻域波形的周期延拓，周期就是采樣頻率，所以，為了避免在頻域發(fā)生頻譜混疊，抽樣定理也是我們要考慮的因素

下面來具體來介紹

如上圖所示，假如上面就是某一有用信號(hào)經(jīng)采樣頻率f1抽樣得到的頻譜，假設(shè)這時(shí)候的采樣頻率為8Khz，可以通過數(shù)格子得到，從0到F1處有8個(gè)空格，每個(gè)空格代表1Khz，有些朋友可能會(huì)問，這不是在數(shù)字頻域嗎，單位不是π嗎，哪來的hz？是的，這里是數(shù)字頻域，采樣頻率F1處對應(yīng)的是2π，這里只是為了好解釋，我們用模擬頻率來對應(yīng)數(shù)字頻率。

上面是采樣頻率為8K的數(shù)字信號(hào)頻域圖，現(xiàn)在我要對這個(gè)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行時(shí)域抽取，從而來降低信號(hào)的采樣率，我們知道，一旦我們對數(shù)字信號(hào)進(jìn)行時(shí)域抽取，那么采樣率下降，而采樣率就是數(shù)字信號(hào)頻域的波形周期，那么也就是周期下降，所以，我們對信號(hào)進(jìn)行抽取要有個(gè)度，要在滿足抽樣定理的條件下對信號(hào)進(jìn)行抽取，否則就會(huì)發(fā)生頻譜混疊。

上圖就是對信號(hào)進(jìn)行了1/5倍的F1采樣頻率抽取，可見，由于發(fā)生了頻譜混疊現(xiàn)象，因?yàn)?/5倍的F1是1600hz，而信號(hào)的頻帶是1000hz，不滿足抽樣定理，導(dǎo)致發(fā)生了頻譜混疊，所以，為了避免發(fā)生這種情況，除了要滿足抽樣定理之外，即抽樣倍數(shù)不能太高，我們還需要把信號(hào)的頻帶設(shè)置在F1/2以下，才能確保信號(hào)不發(fā)生頻譜混疊，因此，我們需要在抽取之前加一個(gè)低通濾波器，書上叫做抗混疊低通濾波器，用來限制信號(hào)的頻帶，然后再進(jìn)行抽取，這樣的話我們來算一下

低通濾波器的截止頻率就是1/2倍的經(jīng)抽取后的采樣速率，即fc = 1/2 * （F1/M） ，M是抽取倍數(shù)。而1/2*F1對應(yīng)的數(shù)域頻率是π，因此我們得出，

抗混疊低通濾波器的截止頻率是π/M

三、內(nèi)插

抽取的過程是降低采樣率的過程，那么插值的過程當(dāng)然就是提高采樣率的過程。大體的思路可以這么理解，我們將經(jīng)f1抽樣下得到的數(shù)字信號(hào)的每兩個(gè)點(diǎn)之間進(jìn)行插值，插入的值是0，插值之后，信號(hào)在單位時(shí)間內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)增多，當(dāng)然也就是采樣速率的提升，采樣速率提升后我們知道，那么信號(hào)的頻譜的周期就會(huì)增加

需要注意的一點(diǎn)就是，插值前后，我們只是在時(shí)域信號(hào)中間插入了D-1個(gè)零值，僅僅是改變了采樣率，并沒有改變信號(hào)的信息，因此，在頻域，信號(hào)頻譜的形狀是不會(huì)改變的，改變的僅僅是周期，如上圖，F(xiàn)1是插值之前信號(hào)的周期，插值之后，信號(hào)頻譜的形狀不變，周期成了F1*D，D是插值倍數(shù)。如果我們直接用F1*D倍的采樣率采信號(hào)，得到的頻譜會(huì)發(fā)現(xiàn)，就不會(huì)有中間兩個(gè)波形，因此，這兩個(gè)波形是多余的，書上叫做是鏡像頻譜。既然是多余的，我們就可以將它用一個(gè)低通濾波器濾掉，這樣的低通濾波器，就叫做鏡像低通濾波器。這樣我們來計(jì)算一下鏡像低通濾波器的截止頻率

根據(jù)上面這張圖我們可以求出鏡像低通濾波器的截止頻率，可以看到，fc = 1/2 *F1,這里我們假設(shè)，內(nèi)插之后的采樣頻率為F2 =F1*D，那么，fc =1/2*(F2/D)，而1/2*F2對應(yīng)的是π，注意，這里是1/2*F2對應(yīng)π，不是1/2*F1了，因?yàn)檫@已經(jīng)是插值之后采樣率增加之后的頻譜了，所以我們得出：

鏡像低通濾波器的截止頻率為：π/D

四、  分?jǐn)?shù)倍抽取與內(nèi)插

根據(jù)前面抽取與內(nèi)插的介紹我們知道了，內(nèi)插的過程是先進(jìn)行內(nèi)插處理，再通過鏡像低通濾波器，抽取的過程就是先進(jìn)行抗混疊低通濾波，再進(jìn)行抽取，我們可以看出來，假如我們想進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽取，比如我要進(jìn)行3/5倍抽取，就可以先進(jìn)行3倍內(nèi)插，再進(jìn)行5倍抽取，這樣就可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)倍抽取。

再來看一下，當(dāng)進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽取與內(nèi)插的時(shí)候，鏡像低通濾波器和抗混疊低通濾波器是連在一起的，因此，我們可以將這兩個(gè)濾波器合二為一，截止頻率取兩個(gè)濾波器截止頻率的最小值就可以了

五、多速率濾波器的Matlab實(shí)現(xiàn)

這里我們假設(shè)，要對一個(gè)頻率為100hz的正弦波模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣，抽樣頻率為900hz，現(xiàn)在我要對采樣信號(hào)進(jìn)行5/3倍提升

根據(jù)我們前面分析的，進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍的抽樣率轉(zhuǎn)換，先要進(jìn)行內(nèi)插處理，內(nèi)插的過程就是在原有的時(shí)域信號(hào)之間，插入I- 1個(gè)零值點(diǎn)，采用matlab實(shí)現(xiàn)很簡單，首先我們可以計(jì)算插值完成之后信號(hào)的長度，然后將原來信號(hào)進(jìn)行填充即可

插值完成之后，需要進(jìn)行低通濾波，由前面的討論可以知道，根據(jù)低通濾波器的截止頻率計(jì)算公式，來計(jì)算濾波器截止頻率為π/I，然后調(diào)用函數(shù)生成FIR濾波器系數(shù)即可。

緊接著，需要進(jìn)行的是抽取處理，抽取過程的算法跟內(nèi)插類似，可以先計(jì)算抽取之后的信號(hào)的長度，然后每個(gè)D個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行一次抽取

下面看一張圖，是我繪制了這個(gè)過程的整個(gè)流程

根據(jù)上面這張圖我們可以看到，最上面的是原始信號(hào)經(jīng)900hz頻率采樣后得到的信號(hào)時(shí)域波形，然后我對其進(jìn)行了5倍內(nèi)插，也就是在每兩個(gè)采樣點(diǎn)之間插入了4個(gè)零值，之后通過了低通濾波器，去掉鏡像波形后的時(shí)域波形，可以看到，此時(shí)的采樣率已經(jīng)是原來的5倍，接著對其進(jìn)行3倍抽取，即每隔兩個(gè)點(diǎn)抽取一個(gè)點(diǎn)作為新的采樣點(diǎn)，得到最下面的時(shí)域波形，整個(gè)過程原始信號(hào)沒有發(fā)生變化，變化的僅僅是采樣率。

六、關(guān)于CIC濾波器

說了這么多，終于進(jìn)入正題了。前面的都是些基礎(chǔ)知識(shí)，只有先掌握了前面的內(nèi)容，才能理解下面的知識(shí)，包括下兩篇文章要講的FIR半帶濾波器和多相結(jié)構(gòu)的FIR半帶濾波器。

CIC濾波器呢，是積分梳狀濾波器的英文簡稱，先來看CIC濾波器的單位沖擊響應(yīng)

很明顯的一個(gè)特征就是，CIC濾波器的單位脈沖響應(yīng)只有0和1，再來想一下，既然單位脈沖響應(yīng)只有0和1，那么也就是意味著，我們在進(jìn)行卷積運(yùn)算的時(shí)候，就不需要乘法器，為什么呢？因?yàn)闉V波器系數(shù)為1的話，相當(dāng)于將輸入信號(hào)乘了個(gè)1，所以就不需要乘法器，只需要加法器就可以完成卷積運(yùn)算，正因?yàn)槿绱耍珻IC濾波器結(jié)構(gòu)簡單，非常適合工作在高采樣率條件下

但是這并不是我們常用的濾波器結(jié)構(gòu)，既然是積分梳狀濾波器，總得體現(xiàn)一下積分、和梳狀這兩個(gè)特點(diǎn)吧，這名字不是白叫的，因此有如下變形

可以看到，上面的式子是CIC濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，對其進(jìn)行變換之后可以得到兩個(gè)部分的乘積形式，即分子部分為一個(gè)梳狀FIR濾波器，剩余部分為一個(gè)積分器，至此，我們CIC濾波器的結(jié)構(gòu)才已經(jīng)成型。

根據(jù)變形后的CIC濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以知道，濾波器的極點(diǎn)為1，因此看上去濾波器是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，但是從整體角度來看，這個(gè)結(jié)構(gòu)是由一個(gè)FIR濾波器變形而來的，本身是一個(gè)因果穩(wěn)定的，因此，變形后的系統(tǒng)應(yīng)該也是一個(gè)因果穩(wěn)定的，因此我們考慮到零極點(diǎn)抵消的原因，致使變形后的系統(tǒng)仍是一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)。

從單級(jí)CIC濾波器的幅頻響應(yīng)考慮，由于其特殊的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致單級(jí)CIC濾波器的衰減不足，可以見下圖

可見，單級(jí)CIC濾波器濾波器的衰減并不是很足，在階數(shù)比較大的情況下，CIC濾波器的衰減一般穩(wěn)定在13.6dB，要想加大衰減，就必須采用多級(jí)CIC濾波器級(jí)聯(lián)的形式，每增加一級(jí)濾波器，阻帶衰減增加13.6dB，但是為了增加阻帶衰減而采用級(jí)聯(lián)方式，也會(huì)導(dǎo)致一些弊端，為此，這方面的知識(shí)總結(jié)如下，具體理論不再解釋了，書上的推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，大家還是自己看書為好。

總結(jié)：

1、要同時(shí)滿足通帶容限跟阻帶容限的誤差的CIC濾波器實(shí)現(xiàn)起來比較困難，因?yàn)橐胱鑾p大，就要增大濾波器級(jí)數(shù)，但是會(huì)導(dǎo)致通帶容限增大。

2、如果要實(shí)現(xiàn)這樣的濾波器，只有當(dāng)有用信號(hào)的頻帶相對于采樣信號(hào)的速率很小時(shí)才能設(shè)計(jì)出符合要求的濾波器，這樣的話通帶衰減較大的情況下也對有用信號(hào)影響較小。

3、有用信號(hào)的頻帶相對于采樣信號(hào)的速率很小也就是意味著信號(hào)的采樣率很高，所以，CIC濾波器適合應(yīng)用在多速率信號(hào)處理的前端，作為抗混疊濾波器來用，或者是作為后端的抗混疊插值濾波器。

七、多級(jí) HogenauerCIC抽取濾波器的FPGA實(shí)現(xiàn)

HogenauerCIC抽取濾波器是一種特殊的結(jié)構(gòu)，可以用來提高濾波器的運(yùn)行速度，節(jié)省硬件資源等

前面已經(jīng)說過了，CIC濾波器的系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)過變形之后，可以得到一個(gè)M階的梳狀濾波器和一個(gè)積分器相乘的形式，二者共同組成了抗混疊低通濾波器，在抽取的過程中，一般是信號(hào)先經(jīng)過抗混疊低通濾波器進(jìn)行濾波，來避免頻譜混疊現(xiàn)象的發(fā)生，然后再進(jìn)行抽取處理，但是我們可以利用Noble恒等式，先對信號(hào)進(jìn)行抽取，再對其進(jìn)行濾波，即

也就是說，在濾波器階數(shù)跟抽取倍數(shù)相同的情況下，如果先濾波后抽取，那么濾波器的長度是M，但是如果先抽取后濾波，那么濾波器的長度就會(huì)降低為1階，因此，采用Noble恒等式，先抽取后濾波，可以降低濾波器長度，從而達(dá)到節(jié)省硬件資源的目的。

前面說了，單級(jí)的CIC濾波器很難滿足需求，要達(dá)到一定的阻帶衰減，就必須通過級(jí)聯(lián)的方式

我們可以看到，如果是三級(jí)的CICI濾波器級(jí)聯(lián)的話，也就是有3個(gè)積分器和三個(gè)梳狀濾波器，這時(shí)候我們可以利用Noble恒等式進(jìn)行移位變換，讓積分器放在一起，梳狀濾波器放在一起，這時(shí)候的梳狀濾波器是M階的，因?yàn)榇藭r(shí)還沒有經(jīng)過抽取，所以我們可以再利用Noble恒等式，將抽取器放到梳狀濾波器之前，這樣的話，梳狀濾波器就會(huì)降為1階，長度為2，從而大大節(jié)省了硬件資源

現(xiàn)在我們假設(shè)抽取倍數(shù)是5，根據(jù)要求，這時(shí)我們的濾波器長度也應(yīng)該是5，采用3級(jí)CIC濾波器級(jí)聯(lián)的方式，用HogenauerCIC抽取濾波器結(jié)構(gòu)在FPGA上設(shè)計(jì)

1、三級(jí)積分器模塊

altera 的CIC濾波器的IP核手冊中給出了CIC濾波器中間運(yùn)算數(shù)據(jù)字長的計(jì)算公式，這里我們假設(shè)我們的輸入數(shù)據(jù)是經(jīng)過10bit量化過的正弦波數(shù)字信號(hào)，那么CIC濾波器的中間運(yùn)算字長為：

Wi  = Win +N*log2(MD)

Win是輸入字長為10，N為濾波器長度5，M為抽取倍數(shù)5，D位級(jí)聯(lián)數(shù)3

因此算得CIC濾波器的中間字長為 Wi = 10 +5*log2(5*3) =30

知道了我們中間運(yùn)算的字長就可以來設(shè)計(jì)我們的模塊了，首先是積分器

積分器的設(shè)計(jì)比較簡單，就是一個(gè)反饋回路，輸出結(jié)果跟輸入相加后延時(shí)一個(gè)時(shí)鐘單元后再與輸入相加

剩下兩級(jí)積分器也是一樣，第一級(jí)積分器的輸出要送到第二級(jí)積分器的輸入，代碼這里不再列出，都是跟第一級(jí)積分器類似

2、五倍抽取器

抽取器的實(shí)現(xiàn)很簡單，從積分器輸出的數(shù)據(jù)，我們每隔5個(gè)數(shù)據(jù)抽取一個(gè)數(shù)據(jù)就好了

3、三級(jí)梳狀濾波器

我們知道，經(jīng)過抽取之后的梳狀濾波器階數(shù)降為1，長度為2的這樣一個(gè)FIR濾波器，由于他的頻譜很像一把梳子，因此得名為梳狀濾波器。根據(jù)前面的變形后的公式，我們很容易得出，1階梳狀濾波器的單位脈沖響應(yīng)為hn = 1 ， -1，既然有了單位脈沖響應(yīng)，我們做的就是一個(gè)簡單的卷積運(yùn)算就好了，而且這里的系數(shù)只有1和-1不需要乘法器，做一下加減法就好了

我們可以看到，跟之前做FIR濾波器一樣，我們先把數(shù)據(jù)送到移位寄存器，因?yàn)?階FIR濾波器只有兩個(gè)系數(shù)，因此只要兩個(gè)移位寄存器就夠了。然后我們把系數(shù)跟輸入的數(shù)據(jù)對應(yīng)相乘，因?yàn)橄禂?shù)是1，所以乘法器就省略了，只需要做些加減運(yùn)算就好了。

經(jīng)過3級(jí)梳狀濾波器濾波后的信號(hào)就是我們需要的信號(hào)了

然后是關(guān)于濾波器輸出信號(hào)的數(shù)據(jù)截尾問題，我們可以通過matlab仿真，看一下輸出數(shù)據(jù)的最大數(shù)據(jù)可以用多少位表示來確定輸出數(shù)據(jù)位寬，如果不想做仿真的話，可以根據(jù)altera的CIC濾波器 的IP核手冊中給出了CIC濾波器輸出數(shù)據(jù)位寬計(jì)算公式來算：

即   Wo =Win  +log2(N^D)

這里我算出來是17，因此，我們將梳狀濾波器的輸出值進(jìn)行截低17位處理

仿真的過程我是采用 一個(gè)1khz和一個(gè)40khz的正弦波信號(hào)合成的，用采樣頻率為200Khz對其進(jìn)行采樣，按照我們上面的設(shè)計(jì)，濾波器的截止頻率應(yīng)該是

fc = 1/2 * (200 / 5) = 20Khz

所以經(jīng)濾波器濾波后，40Khz的高頻信號(hào)將會(huì)被濾掉，下面是仿真結(jié)果

接著，我們將FPGA的輸出信號(hào)讀到matlab中進(jìn)行仿真，繪出輸出信號(hào)的時(shí)域波形

從這張圖我們可以清楚的看到，上面的波形是濾波前的合成信號(hào)的波形，下面的是經(jīng)過濾波后的波形，很明顯，濾波前后，信號(hào)的頻率沒有發(fā)生改變，發(fā)生改變的是采樣率，可以數(shù)一下，下面波形兩點(diǎn)之間的距離，要比上面的信號(hào)寬4倍，也就是5倍抽取，仿真結(jié)果證明，我們的設(shè)計(jì)是正確的