如今提及人工智能，大家期待的一定是某種可以“學(xué)習(xí)”的方法，這種方法使用數(shù)學(xué)模型從數(shù)據(jù)中獲取模式的某種表示。在眾多“學(xué)習(xí)”方法中，獲得最多關(guān)注，承載最多期望的非“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”莫屬。既然我們將這種數(shù)學(xué)方法稱作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，那么他必然和廣泛存在于生物體內(nèi)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在某種聯(lián)系。讓我們考察一個典型的神經(jīng)連接。

每個神經(jīng)元（細胞）都向外伸出許多分支，其中用來接收輸入的分支稱作樹突(dendrities)，用來輸出信號的分支稱作軸突(axon)，軸突連接到樹突上形成一個突觸(synapse)。每個神經(jīng)元可以通過這種方式連接多個其他神經(jīng)元，每個神經(jīng)元也可以接受多個其他神經(jīng)元的連接。很多連接起來的神經(jīng)元形成了網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，海量具有傳感和伸縮功能的體細胞通過神經(jīng)纖維連接在這個網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的輸入和輸出端，中樞神經(jīng)系統(tǒng)正是通過這種網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)獲得了“智能”，至少是驅(qū)動機體做出了趨利避害的選擇。

模式識別中的分類問題就是一種典型的選擇?？雌饋?，這給出了一種解決分類問題的啟示。但是這種網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)是怎么工作的呢？生物學(xué)家已經(jīng)觀察到的事實是，當有外界刺激時，網(wǎng)絡(luò)上的某些神經(jīng)元會被次第激活。神經(jīng)元被激活的意思是這個神經(jīng)元會向外傳遞信號或者對外傳遞的信號強度較大。

為了便于利用，需要對激活過程建立數(shù)學(xué)模型。首先將目光聚焦在一個突觸上，軸突釋放遞質(zhì)被樹突吸收或者電信號從樹突傳遞到軸突就完成了信息的傳遞。如何表示突觸傳遞的信息呢？給出選擇是用一個數(shù)值來表示，這寓示著將信息只歸為一個類別，并用數(shù)值的大小表示其數(shù)量方面的屬性。這樣粗暴的簡化有意義嗎？實際遞質(zhì)可是多種多樣的啊[1]！顯而易見將一個軸突的輸出表示成一個多維向量才是更合理的。但是我們可以引入多個虛擬突觸來實現(xiàn)這個多維向量的各個維度的信息的傳遞，既然都是同樣結(jié)構(gòu)的突觸，為何不先只考察其中一個呢。

接下來考察神經(jīng)元的激活。激活可以有兩種模型結(jié)構(gòu)——跳變式和連續(xù)式。跳變式激活方式是：引入一個閾值，當輸入信息經(jīng)過某種處理后大于閾值即表示激活，小于閾值表示未激活。連續(xù)式激活方式表示神經(jīng)元不是只有激活和未激活兩種狀態(tài)，而是有不同的激活水平，輸入信息經(jīng)過某種處理后直接輸出激活水平。同樣，因為在突觸中可能[幾乎是確定的]同時傳遞了多種信息，是否應(yīng)該為一個神經(jīng)元提供多個激活模型呢？對這個問題解答同樣是同形重復(fù)，引入虛擬神經(jīng)元，讓一個神經(jīng)元只表示其中一個激活模型。讓這個虛擬神經(jīng)元接收所有樹突上的輸入信息，經(jīng)過激活模型處理后生成一維的激活水平。什么？激活水平也應(yīng)該是多維的？好辦，再引入虛擬神經(jīng)元，每個神經(jīng)元只管生成其中某一維的激活水平。

多維變一維，顯然數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是加權(quán)和，給每一維找到一個權(quán)重相乘再加起來。

但是這個模型是線性的，所有輸入和輸出組成的點集落在一個超平面上。是不是太簡單了點，不管怎么調(diào)整這幾個權(quán)重參數(shù)可以表示的情形都是平面。那么再引入一個非線性[2]函數(shù)以這個加權(quán)和為輸入，將其輸出作為激活水平，這個非線性函數(shù)稱作激活函數(shù)。至此神經(jīng)元的數(shù)學(xué)模型算是初步建立起來了。

激活函數(shù)該如何選取呢？很可惜，答案是不知道。目前對生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的了解，不能給予確定激活函數(shù)的啟示。不知道那么就可以隨意安排，早期常用的激活函數(shù)是Sigmoid。其函數(shù)圖像和公式如下。

這是一個關(guān)于(0,0.5)中心對稱的函數(shù)，以加權(quán)和作為輸入形成的超平面總是關(guān)于(0,0.5)中心對稱的，這多少讓人感覺有些不安。那么在激活函數(shù)的自變量上增加一個偏移量，這個偏移量將會導(dǎo)致函數(shù)圖像在z軸上平移。至此構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本元素——處理輸入產(chǎn)生輸出的神經(jīng)元模型已經(jīng)建立好了。

激活函數(shù)的偏移量使得超平面可以離開原點了，這僅僅是數(shù)學(xué)上的意義；其實它還完成了對跳變式激活方式的建模。參考上圖，假設(shè)水平藍線以上的數(shù)值才能表示激活，那么對于藍色的圖像來說處于持續(xù)激活狀態(tài)，綠色的圖片表示只要有輸入就激活，而紅色的部分則表示當輸入數(shù)值超過5時才忽然進入激活狀態(tài)，這就是跳變了。

在實際操作中對于激活函數(shù)的選取是有一定指導(dǎo)原則的——層數(shù)越深，激活函數(shù)越平緩。這個原則并不是來自于對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的深入洞察，而來自于反向傳播（BP）訓(xùn)練方法的缺陷。（對于這個缺陷我會新開一篇，并附上代碼專門說明。）然而，隨著對生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更進一步的了解，是否能給出更好的激活函數(shù)模型呢？答案還是不知道，甚至啟示我們要放棄這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型都是有可能的。

有了神經(jīng)元，就可以構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)了。在構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)之前，先對神經(jīng)元的圖示結(jié)構(gòu)進行簡化。如下圖所示，最終我們用一個圓圈表示了神經(jīng)元，用帶箭頭的線表示了它可以接收的輸入和可以產(chǎn)生的輸出。

既然神經(jīng)元是一個處理輸入產(chǎn)生輸出的模型，是否可以隨意地把一個神經(jīng)元的輸出連接到另一個神經(jīng)元的輸入。當然可以！卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）和回返神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）這兩款分別在計算機視覺和自然語言處理中發(fā)揮巨大價值的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)正是源自于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的這種靈活性。當然，這種靈活性也是“深度學(xué)習(xí)專家們”的學(xué)術(shù)灌水手段！。為了便于模型求解和編程實現(xiàn)，有一種簡單的層狀結(jié)構(gòu)的構(gòu)網(wǎng)方法。某一層的神經(jīng)元僅接收且完全接受緊前層神經(jīng)元的輸入。采用這種原則構(gòu)建出來的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)稱作全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

讓我們回到給生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立數(shù)學(xué)模型的目的上去——分類。怎么才能用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行分類呢？分類的數(shù)學(xué)語言描述是，找從特征空間到類別空間的映射。特征空間的確立比較簡單，比如為了確定一個人是男是女，可以使用體重、身高、胸圍、腰圍、臀圍這幾個屬性組成的特征空間。類別空間的確立有兩種比較顯然的方案。***種，只用一個維度，0表示女，1表示男。第二種，用兩個維度，那個維度取值大就認為屬于哪個類別，如：(1,0)表示女，(0,1)表示男。通常用第二種方案表示類別空間，***種用于解決回歸問題。并沒有什么特殊的原因，只是第二種比較便于建立目標函數(shù)模型（通常是損失函數(shù)）以實現(xiàn)***化，這也是盡量把待解決問題向分類問題上轉(zhuǎn)換的原因。

讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層神經(jīng)元的個數(shù)等于特征空間的維數(shù)，輸出層神經(jīng)元的個數(shù)等于類別空間的維數(shù)，中間層隨意安排。然后將已知的數(shù)據(jù)帶入模型，求解模型的參數(shù)。將不確定男女的(體重,身高,胸圍,腰圍,臀圍)帶入模型，求出一個解(女,男)；然后判斷那一維的數(shù)值大，女>男就認為輸入的是女性的特征，男>女就為認為輸入的是男性的特征。

[1]Bilingual neurons release glutamate and GABA

https://www.nature.com/arTIcles/nn.3840

[2]激活函數(shù)也可以是分段線性函數(shù)