溫溫故，知知新 | 考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動態(tài)響應(yīng) 第二篇
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本篇文章節(jié)選自國際知名電源專家Christophe Basso所著的《考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動態(tài)響應(yīng)》。本篇文章是此次系列文章的第二篇，完整文章共五篇，第三篇將于下周六發(fā)布，歡迎大家持續(xù)關(guān)注~
作者簡介
Christophe Basso
安森美半導(dǎo)體法國圖盧茲 Technical Fellow
他擁有超過20年的電子電路設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，在電力電子轉(zhuǎn)換領(lǐng)域擁有近30項(xiàng)專利，他原創(chuàng)了許多集成電路芯片，其中代表性為 NCP120X 系列，它重新定義了電源低待機(jī)功耗設(shè)標(biāo)準(zhǔn)。
Christophe Basso出版了多部著作，《開關(guān)模式 SPICE 仿真和實(shí)用設(shè)計(jì)》深受廣大工程師的歡迎并二次改版，《為線性和開關(guān)電源設(shè)計(jì)控制回路：教程指南》為工程師設(shè)計(jì)補(bǔ)償和環(huán)路穩(wěn)定性提供了實(shí)用指南，《線性電路傳遞函數(shù)：介紹快速分析技術(shù)》以說教的方式，為學(xué)生和需要強(qiáng)大的工具以快速分析日常工作中的復(fù)雜電子電路的工程師提供對電路分析的不同角度。
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考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動態(tài)響應(yīng) 第一篇
考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動態(tài)響應(yīng)（第二篇）
03
FACT應(yīng)用于Type-2補(bǔ)償器
為高效地將FACT運(yùn)用到Type-2補(bǔ)償器，我們先考慮儲能元件C1和C2?？紤]到它們的獨(dú)立狀態(tài)可變—如它們不是串聯(lián)或并聯(lián)--這是個(gè)二階系統(tǒng)?？紤]非零準(zhǔn)靜態(tài)增益，該系統(tǒng)可表示為：
（11）
對于二階系統(tǒng)，我們可證明分母遵循下列公式：
（12）
系數(shù)s僅是確定零點(diǎn)激勵的時(shí)間常數(shù)之和。S2系數(shù)稍復(fù)雜，因其引入新符號。此符號意味著您“想象”的C2兩端的阻抗，而C1由短路取代。乍一看有點(diǎn)難以理解，但我們稍解釋就會明白。
按求解圖2電路的途徑，我們可研究s=0的系統(tǒng)(圖7)。在分析的過程中，Vref是個(gè)完美的源及其動態(tài)響應(yīng)為0 （忽略我們應(yīng)用的調(diào)制，其電壓是固定的）。因此，它自然不存在于小信號電路，在交流分析中為短路的形式。
圖7：在直流條件下，斷開所有的電容：運(yùn)放運(yùn)行于開環(huán)配置。
運(yùn)放提供的電壓相當(dāng)于開環(huán)增益AOL的e倍。反相引腳的電壓與低邊阻抗Rlower有關(guān)，這時(shí)e是個(gè)非零的值：
（13）
此電路有兩個(gè)電容，因此有兩個(gè)單獨(dú)的時(shí)間常數(shù)。為確定與C2有關(guān)的第一個(gè)時(shí)間常數(shù)，我們將激勵信號設(shè)為0，確定C2的阻抗，C2連接端子，而C1從電路中移除。
為確定由C2端提供的阻抗，我們可連接測試生成器IT，和確定其兩端的電壓VT。然后VT/IT會提供我們想要的阻抗?？蓪懙牡谝粋€(gè)簡單的等式與e有關(guān)。運(yùn)放的輸入引腳之間的電壓是：
（14）
運(yùn)放的輸出為：
（15）
將(14)代入(15)得出：
（16）
VT是電流源的電壓：
（17）
若從（17）提取VFB，結(jié)合（16）的結(jié)果，我們有：
（18）
阻抗是：
（19）
因此第一個(gè)時(shí)間常數(shù)t2表示為：
（20）
第二個(gè)時(shí)間常數(shù)與C1有關(guān)(圖8)。我們未安裝電流發(fā)生器，因?yàn)榻Y(jié)果很明顯：C1兩端的電阻就是已確定的C2與R2串聯(lián)后的電阻：
（21）
圖8：立即確定第二個(gè)時(shí)間常數(shù)，因?yàn)樗荂2與R2串聯(lián)的驅(qū)動電阻。
我們有兩個(gè)時(shí)間常數(shù)，可進(jìn)行第二階項(xiàng)。我們需要評估，其中C2由短路代替，我們看C1端的電阻。既然我們在涉及R2的回路中有弗蘭克短路，那么電阻R就是R2：
（22）
因此，若我們根據(jù)（12）組合時(shí)間常數(shù)，得出分母D(s) ：
（23）
這二階形式可重新排列，假設(shè)質(zhì)量因子Q遠(yuǎn)小于1。此時(shí)兩個(gè)極點(diǎn)完全分離：一個(gè)控制低頻，而第二個(gè)位于頻譜的上部。由（12）我們可證明，兩個(gè)極點(diǎn)定義為：
（24）
（25）
若我們將這些定義應(yīng)用到（23），簡化和重新排列，得到：
（26）
（27）
若我們想象使C1或C2或C1和C2短路，這三個(gè)配置有響應(yīng)嗎？若C1短路，我們有一個(gè)含R2和其他電阻的簡單的逆變器：有個(gè)與C1有關(guān)的零點(diǎn)。若C2短路，則運(yùn)放為0：C2沒有零點(diǎn)。若兩個(gè)電容器都短路，當(dāng)然，沒有響應(yīng)。若C1和R2短路，那么響應(yīng)消失(圖9)：
（28）
然后
（29）
圖9：若R2與C1的串連轉(zhuǎn)換為短路，那是沒信號的響應(yīng)：這就解釋了零點(diǎn)是如何產(chǎn)生的。
其中給出了零點(diǎn)位于：
（30）
現(xiàn)在有最終的傳遞函數(shù)
（31）
及
（32）
（33）
（34）
（35）
04
比較電路之間的響應(yīng)
現(xiàn)在比較由type-2電路 (其中我們考慮開環(huán)增益)帶來的動態(tài)響應(yīng)是有意義的， type 2完美的傳遞函數(shù)為：
（36）
其中
（37）
（38）
（39）
舉例說明，我們對比理想的運(yùn)放和開環(huán)增益為50dB的運(yùn)放 （例如TL431），此時(shí)補(bǔ)償器必須滿足以下目標(biāo)：fc=10kHz和在此頻率的增益補(bǔ)償20dB，相位提升必須是65°。R1和Rlower計(jì)算用于12V輸出和2.5V參考電壓。（31）和（36）的兩個(gè)動態(tài)響應(yīng)如圖10。交越增益和相位升壓的偏差可忽略不計(jì)。
然而，在120赫茲頻率時(shí)（31）的增益為35dB，（36）則為45dB。最后，有限的AOL的準(zhǔn)靜態(tài)增益僅36.4dB（?66），而無限時(shí)則為完美的運(yùn)放。增益少兩倍時(shí)，電源頻率將影響控制系統(tǒng)的能力，抑制整流紋波。輸出變量可能會受到此元件的影響，特別是在電壓模式控制下。此外，若植入增益低，控制變量可能有顯著的靜態(tài)誤差。若您現(xiàn)在選擇具有更高AOL的運(yùn)放如80dB，偏差消失，兩曲線相互非常接近。
圖10：在type 2的波特圖中，我們認(rèn)為開環(huán)增益AOL和低邊電阻Rlower并沒有太大影響原完美的方程式。
05
總結(jié)
本文的前兩篇，介紹一個(gè)補(bǔ)償器采用一個(gè)非理想運(yùn)放時(shí)開環(huán)增益的影響。假如運(yùn)放不是完美的，您可看到動態(tài)響應(yīng)中在低頻范圍內(nèi)弱開環(huán)增益的影響，來評估這種情況導(dǎo)致的性能下降。
未完待續(xù)，下周六見…
參考文獻(xiàn)
1、C. Basso, “ Designing Control Loops for Linear and Switching Converters – A Tutorial Guide”, Artech House 2012, ISBN 978-1-60807-557-7
2、C. Basso, “Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques”, Wiley 2016, ISBN 978-1-119-23637-5
3、V. Vorpérian, “Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits”, Cambridge University Press 2002, ISBN 978-0-521-624428
4、C. Basso, “Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling”, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm
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