導讀：蒙特卡羅方法MCM（Monte Carlo Method），也稱隨機抽樣或統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。

提到蒙特卡羅(也有翻譯成“蒙特卡洛”)一詞，人們不禁想到摩納哥的賭城。這兩者之間有必然聯系么？答案是：Exactly！

大家想想，賭博跟什么有關？首先想到的是隨機性和概率性。對，那蒙特卡羅方法就是與概率論和數理統(tǒng)計有關。

MCM提出：

蒙特卡羅方法MCM于20世紀40年代美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計劃”計劃的成員S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼(計算機之父)首先提出。數學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。在這之前，蒙特卡羅方法就已經存在。1777年，法國數學家布豐（Georges Louis Leclere de Buffon）提出用投針實驗的方法求圓周率π。這被認為是蒙特卡羅方法的起源。

傳統(tǒng)的經驗方法由于不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結果，而蒙特卡羅方法MCM由于能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結果。這也是以概率論和數理統(tǒng)計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。將所求解的問題同一定的概率模型相聯系，用電子計算機實現統(tǒng)計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統(tǒng)計特征，故借用賭城-蒙特卡羅命名。該命名既反映了該方法的部分內涵，又便于記憶，因此得到人們的普遍接受。

BTW：MonteCarlo一詞來源于意大利語，是為了紀念王子摩納哥查理三世。蒙特卡羅（MonteCarlo）雖然是個賭城，但很小，估計跟北京的一條街差不多大。

MCM概述：

蒙特卡羅方法MCM（Monte Carlo Method），也稱隨機抽樣或統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學技術的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法。是指使用隨機數（或偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。與它對應的是確定性算法。蒙特卡羅方法在金融工程學，宏觀經濟學，計算物理學（如粒子輸運計算、量子熱力學計算、空氣動力學計算）以及人工智能之機器學習等領域應用廣泛。

MCM基本思想:

當所求解問題是某種隨機事件出現的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。

有一類問題的維數（變量個數）可能高達數百甚至數千，解題難度隨維數的增加呈指數增長，這就是所謂的維數的災難(Curse of Dimensionality)。即使使用速度最快的計算機，傳統(tǒng)的數值計算方法也難以對付，但蒙特卡羅方法MCM的計算復雜性不再依賴于維數，MCM能很好地用來對付維數的災難。為提高方法的效率，科學家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧。

另一類形式與蒙特卡羅方法MCM相似，但理論基礎不同的方法—“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-Monte Carlo方法)—近年來也獲得迅速發(fā)展。我國數學家華羅庚、王元提出的“華—王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(Low DiscrepancySequences)代替蒙特卡羅方法MCM中的隨機數序列。該方法對某些問題的求解比蒙特卡羅方法MCM計算速度上提高數百倍，計算精度上也有很大提高。

MCM基本原理