FPGA的最大優(yōu)勢(shì)之一是您能夠利用其嵌入式DSP模塊解決最棘手的數(shù)學(xué)傳遞函數(shù)。多項(xiàng)式近似法就是此方面的良方。

由于其靈活性與高性能，F(xiàn)PGA已經(jīng)在眾多需要計(jì)算復(fù)雜數(shù)學(xué)題或傳遞函數(shù)的工業(yè)、科研、軍事及其它應(yīng)用中找到用武之地。苛刻的精度要求與計(jì)算時(shí)延在更關(guān)鍵的應(yīng)用中并不少見。

在采用FPGA實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)時(shí)，工程師一般選擇定點(diǎn)數(shù)學(xué)（參見：賽靈思中國(guó)通訊第80期的《FPGA數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》， docs/xcell80/44?e=2232228/2002872 ）。另外，您還可以采用CORDIC等許多算法計(jì)算超越函數(shù)（參見：賽靈思中國(guó)通訊第79期的《如何在FPGA中運(yùn)用CORDIC算法》， publicaTIons/archives/xcel l/Xcell79.pdf )。

不過，在遇到極為復(fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)時(shí)，與在FPGA之中實(shí)現(xiàn)精確需求函數(shù)相比，還有更高效的方法進(jìn)行處理。為了理解這些變通方法 – 尤其是其中的多項(xiàng)式近似法，我們首先需要定義相關(guān)問題。

FPGA中負(fù)責(zé)監(jiān)控鉑電阻溫度計(jì)（PRT）并把PRT電阻轉(zhuǎn)換成溫度的復(fù)雜數(shù)學(xué)傳遞函數(shù)就是這樣一個(gè)例子。這種轉(zhuǎn)換一般采用Callendar-Van Dusen方程實(shí)現(xiàn)。通過以下該方程的簡(jiǎn)化形式，可以確定溫度介于0 ℃~660 ℃之間。

式中，R0 為0 ℃時(shí)的電阻，a 與b 是PRT的系數(shù)，而t 則是溫度。

現(xiàn)實(shí)中，我們希望從電阻轉(zhuǎn)換到溫度。為此，我們需要調(diào)整該方程，確保得出的結(jié)果是給定電阻下的溫度。大多數(shù)采用PRT的系統(tǒng)都會(huì)設(shè)計(jì)電子裝置、采用電子電路測(cè)量PRT的電阻，然后利用FPGA、通過調(diào)整后的下式計(jì)算溫度。

在FPGA中實(shí)現(xiàn)此方程即使是經(jīng)驗(yàn)豐富的FPGA工程師也會(huì)望而卻步。參考溫度繪制所獲得的電阻可以獲得圖1所示圖形。從圖中可以清晰看出響應(yīng)的非線性。

直接在FPGA中實(shí)現(xiàn)調(diào)整后的傳遞函數(shù)會(huì)在實(shí)際所需設(shè)計(jì)工作量以及驗(yàn)證方面面臨著巨大挑戰(zhàn)（確保精度以及跨邊界與極端條件函數(shù)）。許多工程師會(huì)想方設(shè)法實(shí)現(xiàn)函數(shù)，以便減少設(shè)計(jì)與驗(yàn)證工作量，從而控制項(xiàng)目進(jìn)度。一個(gè)可行的方法是采用查找表保存曲線中的一系列點(diǎn)，同時(shí)提供LUT所含點(diǎn)之間的線性插值。

根據(jù)相關(guān)精度要求和保存在查找表中的元素?cái)?shù)量，這種方法有可能滿足需求。但是，您仍然需要在設(shè)計(jì)中包含線性插值函數(shù)。此函數(shù)在數(shù)學(xué)上非常復(fù)雜，而且往往包含一個(gè)非二次冪除法，其會(huì)進(jìn)一步增加復(fù)雜性。

相反，您還可以利用另一種方法實(shí)現(xiàn)此類傳遞函數(shù)，那就是利用FPGA的本身特性。賽靈思 Spartan-6與7系列ArTIx、Kintex與Virtex等新型FPGA不僅僅只包含傳統(tǒng)查找表和觸發(fā)器，還具有內(nèi)置DSP Slice、Block RAM、分布式RAM、PCIe®等眾多高級(jí)IP硬核以及以太網(wǎng)端點(diǎn)、高速串行鏈路等。

由于其提供的48位累加器，工程師通常把DSP Slice稱為DSP48s。不過，這些Slice還提供25 x 18位寬乘法器、加/減功能以及眾多其它功能。您可以利用這些內(nèi)部RAM結(jié)構(gòu)和DSP Slice更輕松實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)。

利用FPGA具有豐富DSP與RAM的結(jié)構(gòu)的一種方法是多項(xiàng)式近似法。為了使用此方法，您必須首先繪出數(shù)學(xué)函數(shù)圖，在MATLAB或Excel等數(shù)學(xué)程序中涵蓋輸入值范圍。然后您可以在相關(guān)數(shù)據(jù)集中添加多項(xiàng)式趨勢(shì)線，然后可以在FPGA中實(shí)現(xiàn)該趨勢(shì)線的等式，以取代復(fù)雜數(shù)學(xué)函數(shù)，只要趨勢(shì)線等式符合精度要求。

如果一個(gè)多項(xiàng)式方程無(wú)法針對(duì)整個(gè)傳遞函數(shù)輸入范圍提供足夠精度，則可以添加更多方程。只要生成一系列在相關(guān)輸入范圍使用的多項(xiàng)式常數(shù)，您就能夠繼續(xù)依賴此方法。

能夠添加多項(xiàng)式趨勢(shì)線的數(shù)學(xué)程序大部分都允許您選擇階次或多項(xiàng)式項(xiàng)的數(shù)量。階次越高，則配合越準(zhǔn)確——但是您需要在FPGA中實(shí)現(xiàn)更多的項(xiàng)。在針對(duì)傳遞函數(shù)示例實(shí)施此過程時(shí)，我們是采用Microsoft Excel，我們已經(jīng)獲得了圖2所示趨勢(shì)線與等式。本例中采用4次多項(xiàng)式方程。

在獲得了適合我們希望實(shí)現(xiàn)的傳遞函數(shù)的多項(xiàng)式之后，我們可以采用相同分析工具（在本例中為Excel）針對(duì)原始傳遞函數(shù)仔細(xì)檢查精度。在所述監(jiān)控溫度的例子中，最終測(cè)量精度可能會(huì)是+/-1?C，這并非苛刻的精度要求。盡管如此，根據(jù)測(cè)量范圍和您實(shí)現(xiàn)的傳遞函數(shù)，可能證實(shí)仍然很難僅用一個(gè)多項(xiàng)式方程實(shí)現(xiàn)。我們?cè)撊绾谓鉀Q這個(gè)問題呢？