前面的話

記得以前上數字信號處理的課時，老師上來就是一個歐拉公式，然后直接blablabla從時域到頻域......全程都是云里霧里的狀態(tài)；本文因為項目的一篇論文中公式的推導，無奈重新撿起了課本，真是書到用時方恨少啊，本文預計只需2分鐘看完；適合大忙人看

目錄

• 歐拉公式

• 幾何意義

• 復數平面

• 動態(tài)過程

• 加法

• 總結

歐拉公式

歐拉公式被譽為上帝公式；在理工科因為是比較基礎的知識，并且我一直沒有理解和掌握，這樣很難搞清楚實數平面如何換算到復數平面，所以這里有必要簡單剖析一下，從而加深記憶；

歐拉公式如下所示；

這兩個公式都被稱之為歐拉公式；

是自然對數的底， 是虛數（ ）。

根據式 ① 可以推導出以下另外兩個變式；推導過程如下；令 ，可以得到④式，如下；

所以 ③ 等式左右兩端與 ④ 式 相加得到；

所以 ③ 等式左右兩端與 ④ 式 相減得到；

幾何意義

則表示模長為 的向量旋轉了角度 ，下面會進一步介紹。

復數平面

復數平面坐標 軸作為實數軸， 軸作為虛數軸。這里可以通過歐拉公式，將實數平面換到復數平面，如下圖所示；已知這是一個半徑為 ，圓心為 的圓，則存在；

上式表示向量 逆時針旋轉了角度 , ；

動態(tài)過程

假設向量 逆時針旋轉，與 軸夾角為 ，半徑 ，即 ，具體如下圖所示；這里分析一下圖中的幾個關鍵點；

• 紅色點的坐標為： ，紅色的正弦曲線為紅色點的運動軌跡；
• 綠色點的坐標為； ，綠色的正弦曲線為綠色點的運動軌跡；
• 為向量 在 軸上的投影， ；
• 為向量 在 軸上的投影， ；

可以發(fā)現，向量在復平面做圓周運動，其實數域相當于是在做正弦運動。

加法

歐拉公式里的相加則比較簡單，相當于兩個向量的相加；

如下圖所示；所以存在特殊情況當 時則有；

直接進行符合向量相加；

具體如下所示；

總結

磕磕絆絆寫了最后，基礎學科的掌握還不夠，很多知識回過頭來看，總會有新的收獲，但是由于筆者能力有限，寫的不是很好，推薦馬同學的文章 https://www.matongxue.com/madocs/8.html，感興趣的可以看看。