【剖析】傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換

接著上文聊，我們知道在s域上，虛軸上不同的點(diǎn)對應(yīng)不同的頻率，而z域上單位圓與s域虛軸對應(yīng)，可見，z域單位圓上不同的點(diǎn)，代表了不同的頻率。

對于z域的傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，也有和s域零極點(diǎn)類似的結(jié)論：

• 規(guī)律1：如果在單位圓上有零點(diǎn)，則在零點(diǎn)所對應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)為零；

  
  

• 規(guī)律2：對于不在單位圓上的零點(diǎn)，在單位圓上離零點(diǎn)最近的點(diǎn)對應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)最小。

  
  

• 規(guī)律3：對于在單位圓內(nèi)部的極點(diǎn)，在單位圓上離極點(diǎn)最近的點(diǎn)對應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)最大。

  
  

• 規(guī)律4：如果極點(diǎn)和零點(diǎn)重合，對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)沒有影響。

  
  

單位圓逆時針從0 -> -0.5fs -> 0？

細(xì)心的朋友發(fā)現(xiàn)沒？上圖單位圓為何逆時針是從0->0.5fs，然后又從-0.5fs到0？耐心等待下文的解釋。

很久以前，我們需要處理的信號只有模擬信號。但是現(xiàn)在我們步入了新時代——數(shù)字時代，大部分信號都變成數(shù)字式了，典型的數(shù)字信號長成這個樣子：

把模擬信號變成數(shù)字信號的過程稱之為采樣。

采樣頻率定義為：

采樣是一個有規(guī)律的周期性過程，也就說，采樣會引入額外的諧波分量。舉個簡單的例子，現(xiàn)在有一個余弦信號，頻率為 8Hz，表達(dá)式為：

假設(shè)我們對這個余弦信號進(jìn)行采樣，采樣頻率fs為20MHz，采樣結(jié)果如下圖，其中虛線為原始信號，菱形為采樣點(diǎn)的數(shù)值。

采樣到的離散的點(diǎn)，我們用曲線擬合的方式即可恢復(fù)模擬信號，但是！

擬合出來的曲線可能是12Hz、28Hz，32Hz，48Hz，…，也就是說采樣之后信號頻譜有很多頻率，而不單單是原信號頻率8Hz。

為什么？怎么辦？

采樣定理

兩個信號在時域相乘，在頻域相當(dāng)于卷積；在時域卷積，在頻響相當(dāng)于相乘。

狄拉克梳狀函數(shù)（Dirac comb）

狄拉克函數(shù)定義為：

離散信號，其實(shí)就是連續(xù)信號f(t)與狄拉克梳狀函數(shù)（也就是采樣函數(shù)）的相乘，這就是采樣。這是時域行為，在頻域就是卷積！

狄拉克梳狀函數(shù)無論在時域還是在頻域，其形貌都是一系列的脈沖信號，感興趣的朋友可以參考這個鏈接查看推導(dǎo)：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45114376

舉個例子：

對于余弦函數(shù)而言，比如：w=2πf, f=8Hz

其傅里葉變換包含兩個頻率分量，分別是8Hz以及-8Hz，如下圖：

采樣頻率fs為20Hz:

采樣后的信號的頻譜被周期延拓了，延拓的周期就是20Hz，也就是采樣頻率。

上文說了，對8Hz的余弦函數(shù)采樣得到離散點(diǎn)，擬合出來的曲線可能是12Hz、28Hz，32Hz，48Hz，也就是說采樣之后信號頻譜有很多頻率，而不單單是原信號頻率8Hz。

現(xiàn)在明白了吧，12Hz是-8Hz平移一個采樣周期(20Hz)得來的，28Hz是8Hz平移一個采樣周期，32Hz是-8Hz平移兩個采樣周期，48Hz是8Hz平移兩個采樣周期。

得到了如下結(jié)論：對一個連續(xù)信號的采樣，采樣后的頻譜相當(dāng)于將采樣前的頻譜進(jìn)行了延拓，延拓的周期就是采樣頻率。

奈奎斯特采樣定律假設(shè)一個信號的頻譜如下：

頻譜中最大的頻率為fmax ，用一個周期為fs的狄拉克梳狀函數(shù)進(jìn)行采樣后的頻譜為原頻譜的周期延拓，示意圖如下：

采樣之后的頻譜是一個周期函數(shù)，我們把[0, 1/2*fs]稱為主值區(qū)間：

這就解釋了上文的問題：細(xì)心的朋友發(fā)現(xiàn)沒？上圖單位圓為何逆時針是從0->0.5fs，然后又從-0.5fs到0？

接著思考下，如果采用頻率小于信號最大頻率的2倍：

會發(fā)生原始頻譜信號經(jīng)過周期延拓后會有一部分重疊：

對于連續(xù)信號的進(jìn)行抽樣離散的話，必須保證采樣頻率是原連續(xù)信號最大頻率分量的2倍頻率以上，否則信號就難以復(fù)原。這就是采樣定理，又叫奈奎斯特采樣定理或香農(nóng)采樣定理。

零、極點(diǎn)影響頻率響應(yīng)

• 例子1：

  
  

對于這個系統(tǒng)，在z=0有一個極點(diǎn)，在z=1時有一個零點(diǎn)。零、極點(diǎn)分布如下：

其中o表示零點(diǎn)，x表示極點(diǎn)。從z=1也就是單位圓上角度為零(也是頻率為零)的點(diǎn)開始，此處z=1有一個零點(diǎn)，根據(jù)規(guī)律1，顯然在頻率為零時系統(tǒng)響應(yīng)為零。

順著單位圓沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，我們離零點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，零點(diǎn)的影響也越來越小，因此幅值響應(yīng)會逐漸增大。當(dāng)我們到達(dá)z=-1 ,也就是頻率為1/2fs時，此時離零點(diǎn)最遠(yuǎn)，因此響應(yīng)會達(dá)到一個最大值，當(dāng)頻率繼續(xù)增大時，由于離零點(diǎn)又開始接近了，幅值響應(yīng)又開始變小。

極點(diǎn)正好位于圓心位置，也就是說所有頻率段離極點(diǎn)的距離都一樣，因此可以認(rèn)為都沒影響。

用freqz函數(shù)將系統(tǒng)的頻響畫出來，如下圖，這個系統(tǒng)本質(zhì)上是一個高通濾波器。

這個系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到時域：

是不是很驚喜，這本質(zhì)就是一個差分，低頻信號被過濾，高頻信號通過。

• 例子2：

  
  

零極點(diǎn)圖如下：

零點(diǎn)跑到了1/2*fs處，因此，系統(tǒng)的頻響會先減小，到1/2*fs處達(dá)到最小值，然后又增加，具體頻響如下圖，這本質(zhì)上是一個低通濾波器。

時域的表達(dá)式為：

這本質(zhì)就是一個離散求和，對應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的積分，是一個低通濾波器。

低通、高通濾波有了，帶阻呢？

假如我們在0到1/2fs之間放置一個零點(diǎn)，那會不會是一個帶阻濾波器呢？比如我們想在頻率在3/8fs這個點(diǎn)的系統(tǒng)頻率響應(yīng)為零。

[0, 1/2*fs]稱為主值區(qū)間，[-1/2*fs，0]為對稱區(qū)間，因此，3/8fs處對應(yīng)的相位角為3π/4，同時，-3π/4也是零點(diǎn)相位角。因此，傳導(dǎo)函數(shù)為：

展開可得：

感興趣的朋友繼續(xù)推導(dǎo)下帶通濾波器的設(shè)計(jì)，后面接著聊FIR、IIR濾波。