1 算法原理
    FFT算法是基于離散傅里葉變換(DFT)，如式(1)和式(2)：

   
求和運(yùn)算的嵌套分解以及復(fù)數(shù)乘法的對(duì)稱性得以實(shí)現(xiàn)。其中一類FFT算法為庫(kù)利一圖基(Cooley-Tukey)基r按頻率抽選(DIF)法，將輸入序列循環(huán)分解為N／r個(gè)長(zhǎng)度為r的序列，并需要logr N級(jí)運(yùn)算。算法的核心操作是蝶型運(yùn)算，蝶型運(yùn)算的速度直接影響著整個(gè)設(shè)計(jì)的速度。
    基4頻域抽取FFT算法是指把輸出序列X(k)按其除4的余數(shù)不同來(lái)分解為越來(lái)越短的序列，實(shí)現(xiàn)x(n)的DFT算法。FFT的每一級(jí)的運(yùn)算都是有N／4個(gè)蝶形運(yùn)算構(gòu)成，第m級(jí)的一個(gè)蝶形運(yùn)算的四節(jié)點(diǎn)分別為Xm(k)，Xm(k+N／4m)，Xm(k+2N／4m)以及Xm(k+3N／4m)，所以每一個(gè)蝶形運(yùn)算結(jié)構(gòu)完成以下基本迭代運(yùn)算：
   

    式(3)～式(6)中：m表示第m級(jí)蝶形算法；k為數(shù)據(jù)所在的行數(shù)；N為所要計(jì)算的數(shù)據(jù)的點(diǎn)數(shù)；WN為旋轉(zhuǎn)因子。
    將輸入序列循環(huán)分解為4點(diǎn)序列的基4分解，使用4點(diǎn)FFT在乘法上更具優(yōu)勢(shì)，Altera的：FFT兆核選用的就是基4運(yùn)算，若N是2的奇數(shù)冪的情況下，F(xiàn)FT IP核則自動(dòng)在完成轉(zhuǎn)換的最后使用基2運(yùn)算。

2 FFT兆核(IP)函數(shù)
    FFT Core支持4種I／O數(shù)據(jù)流結(jié)構(gòu)：流(Stream-ing)、變量流(Variable Streaming)、緩沖突發(fā)(BufferedBurt)、突發(fā)(Burst)。流結(jié)構(gòu)允許輸入數(shù)據(jù)連續(xù)處理，并輸出連續(xù)的復(fù)數(shù)據(jù)流，這個(gè)過(guò)程不需要停止FFT函數(shù)數(shù)據(jù)流的進(jìn)出。變量流結(jié)構(gòu)允許輸入數(shù)據(jù)連續(xù)處理，并產(chǎn)生一個(gè)與流結(jié)構(gòu)相似連續(xù)輸出數(shù)據(jù)流。緩沖突發(fā)數(shù)據(jù)流結(jié)構(gòu)的FFT需要的存儲(chǔ)器資源比流動(dòng)I／O數(shù)據(jù)流結(jié)構(gòu)少，但平均模塊吞吐量減少。突發(fā)數(shù)據(jù)流結(jié)構(gòu)的執(zhí)行過(guò)程和緩沖突發(fā)結(jié)構(gòu)相同，不同的是，對(duì)于給定參數(shù)設(shè)置，突發(fā)結(jié)構(gòu)在降低平均吞吐量的前提下需要更少的存儲(chǔ)資源。

3 FFT處理器引擎結(jié)構(gòu)
    FFT兆核函數(shù)可以通過(guò)定制參數(shù)來(lái)使用兩種不同的引擎結(jié)構(gòu)：四輸出(Quad-outlput)或單輸出(Signal-output)引擎結(jié)構(gòu)。為了增加FFT兆核函數(shù)的總吞吐量，也可以在一個(gè)FFT兆核函數(shù)變量中使用多個(gè)并行引擎。本文建立一個(gè)基于QuartusⅡ7.O計(jì)算24位512點(diǎn)FFT工程，采用四輸出FFT引擎結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

    復(fù)取樣數(shù)據(jù)X[k，m]從內(nèi)部存儲(chǔ)器并行讀出并由變換開關(guān)(SW)重新排序，排序后的取樣數(shù)據(jù)由基4處理器處理并得到復(fù)數(shù)輸出G[k，m]，由于基4按頻率抽選(DIF)分解方法固有的數(shù)字特點(diǎn)，在蝶形處理器輸出上僅需要3個(gè)復(fù)數(shù)乘法器完成3次乘旋轉(zhuǎn)因子(有一個(gè)因子為1，不需要乘)計(jì)算。這種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)在一個(gè)單時(shí)鐘周期內(nèi)計(jì)算所有四個(gè)基4蝶形復(fù)數(shù)輸出。
    同時(shí)，為了辨別取樣數(shù)據(jù)的最大動(dòng)態(tài)范圍，四個(gè)輸出由塊浮點(diǎn)單元(BFPU)并行估計(jì)，丟棄適當(dāng)?shù)淖畹臀?LSB)，在寫入內(nèi)部存儲(chǔ)器之前對(duì)復(fù)數(shù)值進(jìn)行四舍五入并行重新排序。對(duì)于要求轉(zhuǎn)換時(shí)間盡量小的應(yīng)用，四輸出引擎結(jié)構(gòu)是最佳的選擇；對(duì)于要求資源盡量少的應(yīng)用，單輸出引擎結(jié)構(gòu)比較合適。為了增加整個(gè)FFT吞吐量，可以采用多并行的結(jié)構(gòu)。

4 系統(tǒng)驗(yàn)證
4．1 工程仿真
    選擇CycloneⅡ系列的EP2C70F896C8芯片來(lái)實(shí)現(xiàn)，先在QuartusⅡ軟件下進(jìn)行綜合仿真，初始化參數(shù)設(shè)置FFT變換長(zhǎng)度為512點(diǎn)，數(shù)據(jù)和旋轉(zhuǎn)因子精度為24 b，選擇緩沖突發(fā)的數(shù)據(jù)流結(jié)構(gòu)，四輸出引擎并行FFT引擎?zhèn)€數(shù)為4個(gè)，復(fù)數(shù)乘法器結(jié)構(gòu)為“4／Mults／2Adders”。EP2C70F896C8芯片包括68 416個(gè)邏輯單元，31 112個(gè)寄存器單元，最大用戶輸入／輸出引腳622個(gè)，總RAM達(dá)1 152 000 b，其布線資源由密布的可編程開關(guān)來(lái)實(shí)現(xiàn)相互間的連接，這種結(jié)構(gòu)完全符合實(shí)現(xiàn)FFT電路的要求。
    經(jīng)綜合和時(shí)序分析得知：其工作時(shí)鐘頻率
69．58 MHz(period=14．372 ns)，進(jìn)行一次蝶形運(yùn)算只需約14 ns，全部512點(diǎn)數(shù)據(jù)處理完成則需14．372×4×512=29．3μs滿足時(shí)序要求。具體綜合結(jié)果如圖2所示，為Quartus軟件環(huán)境下仿真得到。

    圖3則表明了FFT的綜合邏輯結(jié)果，為編譯成功后的RTL級(jí)電路描述。

    FFT處理器模塊采用緩沖突發(fā)數(shù)據(jù)流結(jié)構(gòu)的信號(hào)時(shí)序圖如圖4所示，在系統(tǒng)復(fù)位信號(hào)(reset_n)變?yōu)榈碗娖胶螅瑪?shù)據(jù)源將sink_ready信號(hào)置高電平，表明有能力接收輸入信號(hào)。數(shù)據(jù)源加載第一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)樣點(diǎn)到FFT函數(shù)中，同時(shí)將sink_sop信號(hào)置高電平，表示輸入模塊的開始。在下一個(gè)時(shí)鐘周期，sink_sop信號(hào)被復(fù)位，并以自然順序加載后面的N-1個(gè)復(fù)輸人數(shù)據(jù)樣點(diǎn)。

    當(dāng)完全載入輸入模塊時(shí)，F(xiàn)FT函數(shù)復(fù)位sink_ena信號(hào)，表示FFT不再接收其他輸入數(shù)據(jù)并開始計(jì)算輸入數(shù)據(jù)模塊的變換結(jié)果。在FFT處理器內(nèi)部輸入緩沖區(qū)讀取樣點(diǎn)之后，F(xiàn)FT將sink_ena信號(hào)重新置高電平，準(zhǔn)備讀取下一個(gè)輸入模塊。下一個(gè)輸入模塊的起點(diǎn)由sink_sop脈沖確定。當(dāng)FFT完成了輸入模塊的變換，并且從設(shè)備匯端將source_ready信號(hào)(表示數(shù)據(jù)從設(shè)備接收器可以接收輸出數(shù)據(jù)模塊)置高電平，并且以自然順序輸出復(fù)數(shù)變換域數(shù)據(jù)模塊。
4．2 仿真結(jié)果分析
    在編譯綜合后，工程當(dāng)中含有基于FFT IP核生成的Matlab文件，這樣就可在Matlab下對(duì)工程結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步測(cè)試，構(gòu)建信號(hào)，并與Matlab計(jì)算的理論結(jié)果進(jìn)行比較。設(shè)輸入函數(shù)為z(t)=20 000sin(20πt)，點(diǎn)數(shù)N=512，采樣頻率為500 Hz，即采樣間隔為O.002 s，采樣的時(shí)間長(zhǎng)度為O.002 x 512 s，該正弦信號(hào)通過(guò)512點(diǎn)FFT處理結(jié)果如圖5所示，正弦信號(hào)基于IP核Matlab文件仿真結(jié)果如圖6所示。

    由圖5，圖6比較可以看出FFT、處理器處理后的結(jié)果和Matlab計(jì)算的理論結(jié)果基本一致。都在第11點(diǎn)和第503點(diǎn)取得最大FFT絕對(duì)值，兩者的誤差只是在FFT頻譜絕對(duì)值的幅度大小原因：一是Altera FFT兆核函數(shù)的塊浮點(diǎn)輸出與Matlab這種全精度FFT的輸出相比，存在最低位(LSB)被丟棄的影響；二是工程初始化IP核采用的數(shù)據(jù)精度取24位(V7.0 IP最大支持24位數(shù)據(jù)精度)。

5 結(jié) 語(yǔ)
    在利用FFT IP核進(jìn)行FFT算法實(shí)現(xiàn)的同時(shí)，對(duì)仿真結(jié)果做了全面分析，由于IP核的可塑性很強(qiáng)，增加了芯片的靈活性。使用Altera FFT的IP Core大大減少了產(chǎn)品的開發(fā)時(shí)間，Altera還可進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)加窗功能，甚至DDC部分(單端信號(hào)向I／Q轉(zhuǎn)換)整合到其FFT處理器模塊中，能進(jìn)一層次簡(jiǎn)化開發(fā)的流程，在今后實(shí)際工程應(yīng)用中高效利用。