傅里葉變換是一種在各個領域都經(jīng)常使用的數(shù)學工具。這個網(wǎng)站將為你介紹傅里葉變換能干什么，為什么傅里葉變換非常有用，以及你如何利用傅里葉變換干漂亮的事。就像下面這樣：

我將為你解釋這個動畫是如何工作的，沿途為你詳細地解釋傅里葉變換！

這次旅途結束后，你將會掌握下面這些知識：

我們現(xiàn)在暫時不提那些復雜的數(shù)學公式。傅里葉背后的數(shù)學原理十分有趣，但最好還是先從它的實際應用開始，以及為什么要使用它。如果你想了解更多，下面提供了一些進一步的閱讀建議！

傅里葉變換是什么

簡而言之，傅里葉變換把一個輸入信號分解成一堆正弦波的疊加。就像大多數(shù)數(shù)學方法一樣，這個名字來自一個名叫傅立葉的人。

讓我們從一些簡單的例子開始，然后繼續(xù)前進。首先，我們來看看什么是波 —— 波隨著時間的推移，一直按照某一規(guī)律變化。

這是一個波的例子：

這個波可以分解為兩個正弦波的疊加。也就是說，當我們將兩個正弦波相加時，就會得到原來的波。

傅里葉變換可以讓我們從一個復雜的波形里面，把構成這個波的單個正弦波分離出來。在這個例子中，你幾乎可以通過“腦補”完成這一操作。

為什么？事實證明，現(xiàn)實世界中的許多事物間的互相交互，都是基于正弦波。我們通常將這種波的快慢的性質，稱為波的頻率。

最明顯的例子就是聲音 —— 當我們聽到聲音時，我們聽不到那條波浪線，但我們聽到構成聲音的正弦波的不同頻率。

能夠在計算機上區(qū)分這兩個音調，我們就可以了解一個人實際可以聽到的內容。我們可以理解聲音的高低，或弄清楚這個波包含了什么音符。

一些波看起來不像由正弦波構成，我們也可以用這個分解的過程來進行分析。

我們來看看這個家伙吧。這個波稱為方波。

雖然看起來不太可能，但它確實也可以分解成正弦波。

這次我們需要很多 —— 理論上是無限多的正弦波來完美地表達一個方波。隨著我們加入越來越多的正弦波，疊加出的波形就越來越接近方波。

在視覺上，你會注意到前幾個正弦波的疊加可以在結果中產生最大差異?；瑝K滑到一半時，就有一些方波的樣子了，但它看起來搖擺不定。加上更多小的正弦波，組合出的波形看起來就平坦了。

當播放這個波形時，你會發(fā)現(xiàn)使用的正弦波少時，聲音聽起來更低沉一些。這是因為我們把高頻率的成分去掉了。

這一過程可以用來處理任何有周期的波。試一試，畫一個你喜歡的波形吧。

和上一個方波類似，除了有些額外的擺動之外，滑塊移動到中間位置，生成的波形就很接近你畫的了。

我們可以利用這個事實：使用傅里葉變換，我們可以把音頻中最重要的成分表達出來，并且得到和原始聲音非常接近的波形。

在計算機中，波形以一系列數(shù)據(jù)點的形式來存儲。

我們可以做的是，將聲音表示為一堆正弦波。然后可以通過忽略掉較小幅度的高頻成分來壓縮聲音。盡管得出的波形與原始波形不一樣，但是聽起來將會和原始聲音很接近。

這基本上就是MP3做的事情。MP3除此之外還可以更聰明地知道需要保留哪些頻率以及扔掉哪些頻率。

所以在這種情況下，我們可以使用傅里葉變換來理解波的基本屬性，然后我們可以將它用于數(shù)據(jù)的壓縮之類的事情。

好的，現(xiàn)在讓我們深入了解傅立葉變換。下一部分看起來很酷，也讓你更加了解傅立葉變換的作用。但大多只是“看起來”很酷。

周轉圓

在開始時，我介紹了傅里葉變換可以將事物分成正弦波。但更酷的是，它產生的正弦波不僅僅是一般的正弦波，它們都是“三維”的正弦波。你可以稱之為“復雜的”正弦曲線，或者，“螺旋”。

如果我們從側面看，它們看起來像正弦波。但是，從正面看，它們看起來像圓圈。

到目前為止，我們所做的一切只需要常規(guī)的2D正弦波。當我們對2D波進行傅里葉變換時，“復雜的”部分被忽略了，所以我們最終也只能得到正弦波。

但是我們可以使用3D正弦波來制作看起來很有趣的東西，就像這個：

這里發(fā)生了什么事情呢？

我們可以將一個手繪圖理解為一個3D的形狀，因為點的位置在隨時間移動。如果你想象一個人正在繪制一只手，那么這三個維度就代表了某一時刻鉛筆尖的位置。除了x和y維度告訴我們筆尖的位置，還有一個時間維度。

現(xiàn)在我們有一個3D的形狀，我們不能使用常規(guī)2D正弦波把它表示出來。無論我們添加多少2D正弦波，我們都永遠不會得到3D。所以我們需要些別的東西。

我們可以使用的是之前的3D螺旋正弦波。如果我們添加很多這些螺旋，得到的東西就看起來像我們的3D形狀。

請記住，當我們從前面看它們時，這些波浪看起來像圓圈。圍繞另一個圓圈移動的圓圈圖案，被稱為“周轉圓”。

像以前一樣，我們只用幾個圓圈就可以很好地近似表達出原始圖案。因為這是一個相當簡單的形狀，所有后面添加的小圓都是使邊緣更加銳利。

這些適用于任何一個圖案。真的，現(xiàn)在你創(chuàng)作的機會來了。

同樣，你會發(fā)現(xiàn)，對于大多數(shù)形狀，我們可以用很少的圓圈很好地近似表達它們，要保存一個形狀，我們不必保存形狀上所有的點。

這個方法可以應用于實際數(shù)據(jù)嗎？答案是可以！實際上，我們有另一種稱為SVG的數(shù)據(jù)格式，比我們在這里繪制圖案更好用一些。所以目前，我們只是制作了些炫酷的小GIF。

然而，還有另一種類型的視覺數(shù)據(jù)使用傅里葉變換。

JPEGs

你知道傅立葉變換除了可以表達簡單的手繪線條，還可以用于圖像嗎？事實上，我們一直都在使用它，因為這就是JPEG的工作原理！我們將相同的原理應用于圖像 —— 將某些東西分成一堆正弦波，然后只存儲重要的東西。

要處理圖像，我們需要一種不同類型的正弦波。我們需要這樣的一種“正弦波”：無論我們有什么樣的圖像，我們都可以添加一堆這些正弦波來回到原始圖像。

要做到這一點，我們使用的每個正弦波也將是一個個小圖像。我們現(xiàn)在使用一些黑白條紋的小圖像，這些更可以表達為“線”，而不是波。為了表示“波”的大小，每個圖像將具有或多或少的明暗對比。

我們也可以以類似的方式表示出顏色，但我們先從灰度圖像開始玩。為了表示灰度圖像，我們需要一些水平的波圖案，還有一些垂直的波圖案。

要得到一個8x8分辨率的圖像，這里是我們需要的所有小圖案。

如果我們把這些小圖案的對比度調整到適當?shù)闹?，然后將它們相加，我們就可以得出任意圖像。

讓我們從一個字母"A"開始。它非常小，但我們需要它很小，否則我們最終會得到太多其他的圖像。

隨著我們添加越來越多的這些圖案，我們最終得到的東西越來越接近實際圖像。我覺得你只要添加很少一部分圖案，就能看出字母“A”的樣子來。

對于實際的JPEG圖像來說，這就是基本原理，剩下的只有一些額外的細節(jié)。

圖像被分解為8x8塊，每個塊分別進行分解。我們使用一組頻率來確定每個像素的亮度或暗度，然后是另外兩組用于顏色，一組用于紅綠色，另一組用于藍黃色。我們?yōu)槊總€塊使用的頻率個數(shù)決定了JPEG圖像的品質。

這是一個實際的JPEG圖像，放大后我們可以看到細節(jié)。當我們改變JPEG品質水平時，可以觀察出畫質的區(qū)別。

總結

讓我們回顧一下：

這只是表面上的一些淺層次應用。傅里葉變換是一個非常強大的工具，因為將事物分解成不同頻率是十分重要的分析方法。它們被用于許多領域，包括電路設計，移動網(wǎng)絡信號，磁共振成像（MRI）和量子物理！

一些問題

我在這里跳過了大部分的數(shù)學原理。如果你對它的數(shù)學原理很感興趣，可以用以下這些問題來幫助你研究：