引 言

經(jīng)典數(shù)字濾波器即 FIR 濾波器和 IIR 濾波器在很多領(lǐng)域中都發(fā)揮著重要的作用，在不要求實(shí)時(shí)處理時(shí)，常常使用Matlab 軟件設(shè)計(jì)濾波器并對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。重力數(shù)據(jù)和重力梯度數(shù)據(jù)的濾波就是采集后在PC 機(jī)上進(jìn)行處理的。FIR 濾波器具有線(xiàn)性相位，且系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但是濾波器階數(shù)比較高； IIR 濾波器階數(shù)比較低，但是不具有線(xiàn)性相位，且系統(tǒng)有可能不穩(wěn)定。不過(guò)，在Matlab 軟件中，可以通過(guò)零相位濾波解決IIR 濾波器非線(xiàn)性相位的問(wèn)題。重力數(shù)據(jù)需要低通濾波，重力梯度數(shù)據(jù)需要帶通濾波，對(duì)于FIR 濾波器和IIR 濾波器，選擇哪一個(gè)進(jìn)行濾波，濾波器長(zhǎng)度對(duì)濾波結(jié)果的影響，濾波器穩(wěn)定性的驗(yàn)證等問(wèn)題都值得進(jìn)行研究。

1 FIR濾波器

FIR 濾波器具有線(xiàn)性相位，且系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但是濾波器的階數(shù)比較高。而對(duì)于有限長(zhǎng)度信號(hào)的濾波，濾波器的長(zhǎng)度對(duì)濾波結(jié)果的影響是值得關(guān)注的問(wèn)題。

2 FRR 和 RRF

在數(shù)字信號(hào)處理中，為了不產(chǎn)生相位失真，通常要求濾波器具有零相位。當(dāng)濾波器是零相位時(shí)，輸出與輸入將不存在移位，即輸入和輸出數(shù)據(jù)在時(shí)間上能一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，只存在增益上的差別，我們稱(chēng)此時(shí)的濾波器為零相位數(shù)字濾波器 [1,2]。實(shí)現(xiàn)零相位數(shù)字濾波可以采用 FRR 或RRF 方法。FRR 濾波是先將輸入序列按順序?yàn)V波（forward filter），然后將所得結(jié)果翻轉(zhuǎn)后通過(guò)濾波器（ reverse filter），再將所得結(jié)果翻轉(zhuǎn)后輸出（ reverse output），即得相位不變的輸出序列。類(lèi)似的， RRF 濾波是先將輸入信號(hào)序列翻轉(zhuǎn)后通過(guò)濾波器（ reverse filter）， 然后將所得結(jié)果翻轉(zhuǎn)后再次通過(guò)濾波器（ reverse filter），這樣所得結(jié)果（forward output ）即為精確零相位失真的輸出序列。

3 低通濾波

用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通濾波器，通帶截止頻率為 3 Hz，阻帶截止頻率為 5 Hz，采樣頻率為 100 Hz。用該濾波器分別對(duì)直流信號(hào) x1=ones（1，512）和低頻信號(hào) x2=0.2*sin（2*pi*2*t）進(jìn)行濾波，濾波分別采用以上提到的幾種方法。對(duì) x1 用幾種方法進(jìn)行濾波，濾波結(jié)果如圖 1 所示，為了方便比較，幾種方法的濾波結(jié)果在幅值上做了改動(dòng)，從圖中可以看出只有函數(shù)filtfilt 得到的濾波結(jié)果和原信號(hào)是一樣的。其他幾種方法在兩端都或多或少有無(wú)效數(shù)據(jù)產(chǎn)生。

幾種方法對(duì)直流信號(hào)濾波后的頻譜如圖 2所示，將其中零頻率上面部分頻譜放大得到圖 3所示的放大波形，可以看出filter、FRR和 RRF方法得到的頻譜相近，conv和filtfilt 方法得到的頻譜與原信號(hào)頻譜相近。從圖 3中還可以看出filter、FRR和 RRF 方法得到的信號(hào)頻譜在零頻率處有明顯的衰減，大約在 430左右，而原信號(hào)在零頻率處幅值大約為512。圖 2中幅值較低，且接近零頻率處的頻譜放大可得到圖4，從中也可看出，filter、FRR 和RRF 方法得到的頻譜相近，conv 和filtfilt 方法得到的頻譜與原信號(hào)頻譜相近。將圖 2 中的頻譜整體適當(dāng)放大，可以清晰的看出幾種方法相互接近的趨勢(shì)，如圖 5 所示。從時(shí)域和頻域?qū)Ρ葞追N濾波方法，可以看出最好的濾波方法是使用filtfilt 函數(shù)。

對(duì) x2 用幾種方法進(jìn)行濾波，濾波結(jié)果如圖 6 所示，為了方便比較，幾種方法的濾波結(jié)果在幅值上做了改動(dòng)，從圖中可以看出，也只有函數(shù) filtfilt 得到的濾波結(jié)果和原信號(hào)是一樣的。其他幾種方法在兩端也都或多或少有無(wú)效數(shù)據(jù)產(chǎn)生。

幾種方法對(duì) x2 濾波后的頻譜如圖 7 所示，將其中 2 Hz頻率處上面部分頻譜放大可得到圖 8 的結(jié)果，可以看出filter、FRR 和 RRF 方法得到的頻譜相近，conv 和filtfilt 方法得到的頻譜與原信號(hào)頻譜相近。從圖 8 中還可以看出，filter、FRR 和RRF 方法得到的信號(hào)頻譜在 2 Hz 處有明顯的衰減，大約為 42，而原信號(hào)在零頻率處幅值大約為 51。將圖 7 中的頻譜整體適當(dāng)放大，可以清晰的看出幾種方法相互接近的趨勢(shì)， 如圖 9 所示。從時(shí)域和頻域?qū)Ρ葞追N濾波方法，可以看出，最好的濾波方法是使用filtfilt 函數(shù)。對(duì)直流信號(hào)和正弦信號(hào)進(jìn)行低通濾波，得到的結(jié)論相同，即使用filtfilt 函數(shù)最好。

4 帶通濾波 

用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)帶通濾波器，該濾波器通帶截止頻率為 [10 20]Hz，阻帶截止頻率為 [5 25]Hz，采樣頻率為 100 Hz。 用該濾波器對(duì)信號(hào) x=0.2*sin（2*pi*15*t）進(jìn)行濾波，濾波分 別采用 filter、conv、filtfilt、FRR 和 RRF 方法，濾波結(jié)果如 圖 10 所示，可以看出，filtfilt 濾波后的信號(hào)最接近原信號(hào)。 濾波后信號(hào)的頻譜如圖 11 所示，將其進(jìn)行放大，如圖 12 所示， 可以看出與低通濾波的情況相似，filter、FRR 和 RRF 方法 得到的頻譜相近，conv 和 filtfilt 方法得到的頻譜與原信號(hào)頻 譜相近。經(jīng)過(guò)時(shí)域和頻域的比較，得出帶通濾波同樣是 filtfilt 函數(shù)最好。

5 結(jié) 語(yǔ)

非實(shí)時(shí)數(shù)字濾波在很多應(yīng)用領(lǐng)域中都會(huì)用到，例如在電 網(wǎng)行波數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用 [3]、在形貌恢復(fù)中的應(yīng)用 [4]、在心電 信號(hào)處理中的應(yīng)用 [5] 等。為了使濾波后信號(hào)不發(fā)生畸變，而 且方便對(duì)比輸出信號(hào)和輸入信號(hào)，零相位濾波受到大家的青 睞，大家都講零相位濾波，大多是 FRR 的原理。有的是按照 FRR 的步驟來(lái)濾波，有的其實(shí)是用 filtfilt。通過(guò)本文的仿真 研究，可以看出，F(xiàn)RR 并不等同于 filtfilt，而且 filtfilt 的效果 比 FRR 或者 RRF 都要好。