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轉(zhuǎn)自：量子位?公眾號(hào)（ QbitAI ）

程序 bug 也能負(fù)負(fù)得正嗎？

還真可以。

比如程序員們?cè)偈煜げ贿^(guò)的排序算法，通過(guò)兩個(gè)“bug”居然能歪打正著，實(shí)在令人匪夷所思。

請(qǐng)看這位程序員寫(xiě)的數(shù)組升序排序代碼：

for?i?=?1?to?n?do
??for?j?=?1?to?n?do
????if?A[i]???????swap?A[i]?and?A[j]
最近這串代碼在 Hacker News 論壇上突然火了起來(lái)，引來(lái)大批程序員圍觀。

乍一看這段代碼，你的反應(yīng)會(huì)是什么？會(huì)不會(huì)覺(jué)得這個(gè)程序員水平太差了，連基本的冒泡算法都寫(xiě)不好：

不等號(hào)方向錯(cuò)了，第二層循環(huán)指數(shù) j 的范圍也弄錯(cuò)了。

總之，這段代碼“絕對(duì)不可能正確”。

但如果你真的運(yùn)行一下會(huì)發(fā)現(xiàn)，結(jié)果還真的是按照升序排列的。

我們?cè)賮?lái)看一下正確的冒泡算法代碼是怎樣的：

for?i?=?1?to?n?do
??for?j?=?i? ?1?to?n?do
????if?A[i]?>?A[j]?then
??????swap?A[i]?and?A[j]
后者不同之處是 j = i 1 且 A[i] > A[j]，兩段程序大相徑庭。

然而我要告訴你一個(gè)不可思議的事實(shí)，其實(shí)第一串代碼是對(duì)的，而且可以嚴(yán)格證明。

那么它是如何實(shí)現(xiàn)正確排序的？

為何能歪打正著

仔細(xì)一想，其實(shí)很容易理解。因?yàn)樵撍惴ū让芭菖判蚨嘁话虢粨Q操作，正好可以將降序編程升序。

不過(guò)，作者還是給出了嚴(yán)格的證明。

我們定義 P? 是經(jīng)過(guò) i 次（1 ≤ i ≤ n）外循環(huán)后得到的數(shù)組。

如果算法正確，那么前 i 項(xiàng)已經(jīng)是升序排列，即 A[1] ≤ A[2] ≤ . . . ≤ A[i]。

證明該算法正確，實(shí)際上就是證明 P? 對(duì)于任何 n 都成立。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，我們只要證明 P? 成立，假設(shè) P? 成立，接著再證明 Pi 1 也成立，命題即可得證。

P? 顯然是正確的，而且這一步和普通的冒泡算法降序沒(méi)有區(qū)別，經(jīng)過(guò)第 1 次外循環(huán)，A[1] 就是整個(gè)數(shù)組的最大元素。

接著我們假設(shè) P? 成立，然后證明 Pi 1 成立。

我們先定義一個(gè)序數(shù) k：

首先假設(shè) A[k](k 介于 1~i 之間）滿足 A[k]>A[i 1] 最小的一個(gè)數(shù)，那么 A[k?1]≤A[i 1]（k≠1)。

如果 A[i 1]≥A[i]，那么這樣的 k 不存在，我們就令 k=i 1。

考慮以下三種情況：

1、1 ≤ j ≤ k?1

由于 A[i 1]＞A[j]，沒(méi)有任何元素交換發(fā)生。

2、 k ≤ j ≤ i （如果 k=i 1，則不存在此步驟）

由于 A[j]>A[i 1]，所以每次比較后都會(huì)有元素交換發(fā)生。

我們使用 A[ ] 和 A′[ ] 來(lái)表示交換前和交換后的元素，所以

A′[i 1] = A[k]，A′[k]=A[i 1]

經(jīng)過(guò)一系列交換，最大元素最終被放到了 A[i 1] 位置上，原來(lái)的 A[i 1] 變成了最大元素，A[k] 被插入了大小介于原來(lái) A[k] 和 A[k-1] 之間的元素。

3、i 1 ≤ j ≤ n

由于最大元素已經(jīng)交換到前 i 1 個(gè)元素中，此過(guò)程也沒(méi)有任何元素交換。

最后，P? 就是升序排序算法執(zhí)行完以后的結(jié)果。

由于內(nèi)外兩組循環(huán)沒(méi)有任何范圍差別，因此這可以說(shuō)是“最簡(jiǎn)單”的排序算法了。

從代碼上來(lái)看，它很像冒泡算法，但從證明過(guò)程中可以看出，這實(shí)際上是一種插入算法。

算法復(fù)雜度

顯然，該算法總會(huì)進(jìn)行 n2 次比較，接下來(lái)計(jì)算算法的交換次數(shù)。

可以證明交換其次最多為 I 2(n-1)，最少為 n-1。

其中 I 為初始數(shù)字的逆序數(shù)，最大為 n(n-1)/2

因此整個(gè)算法的復(fù)雜度為 O(n2)。

從證明過(guò)程中可以看出，除了 i=1 的循環(huán)以外，其余循環(huán)里 j=i-1 之后的部分完全無(wú)效，因此可以將這部分省略，得到簡(jiǎn)化后的算法。

for?i?=?2?to?n?do
??for?j?=?1?to?i???1?do
????if?A[i]?then
??????swap?A[i]?and?A[j]
該算法減少了比較和交換次數(shù)，不過(guò)算法復(fù)雜度依然是 O(n2)。

網(wǎng)友：這個(gè)算法我以前見(jiàn)過(guò)

比最容易理解的冒泡算法還要簡(jiǎn)單，這個(gè)排序算法在 Hacker News 上很快引起了網(wǎng)友的圍觀。

不少人覺(jué)得它“很眼熟”。

有位網(wǎng)友表示，自己曾在奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽中看到一個(gè)同學(xué)用了一種非常奇怪的排序算法，它可以運(yùn)行但是效率很低，更像是一種插入排序。

如果我沒(méi)記錯(cuò)的話，他用的就是這種算法。

事實(shí)上，關(guān)于這種算法的討論已久，從 2014 年開(kāi)始就不斷有人發(fā)帖，這次作者將論文上傳到 arXiv 后又引起了廣泛熱議。

甚至還有烏龍事件發(fā)生。

有位網(wǎng)友掃了一眼論文就以為這個(gè)算法和自己 10 年前提出的一樣。

留言網(wǎng)友的算法：

乍一看兩種算法的代碼確實(shí)很像，原理上的確有些相似。

都是看起來(lái)像冒泡排序，但其實(shí)更貼近選擇排序。

不過(guò)很快有人指出真相：這種算法中 j=i 1 to n，并且是當(dāng) A[i] > A[j] 時(shí)交換。

而作者提出的算法中 j=1 to n，A[i] < A[j] 時(shí)交換。

兩種算法相比，網(wǎng)友此前提出的更容易被理解為什么可以運(yùn)行。

當(dāng)然也有歪樓的，有人就調(diào)侃自己剛學(xué)編程時(shí)寫(xiě)過(guò)這個(gè)算法。

我百分百確定，在我剛開(kāi)始學(xué)編程、并想要找到最短的排序方法時(shí)就寫(xiě)過(guò)它。

不過(guò)說(shuō)到實(shí)際應(yīng)用上，這種算法需要的計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)了。

有人就認(rèn)為，這種算法此前被發(fā)現(xiàn)過(guò)很多次，但是那些人根本沒(méi)打算用它。

也有人提出：這種排序沒(méi)有睡眠排序簡(jiǎn)單。

睡眠排序就是構(gòu)造 n 個(gè)線程，讓線程和排序的 n 個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)。

例如對(duì)于 [4,2,3,5,9] 這樣一組數(shù)字，就創(chuàng)建 5 個(gè)線程，每個(gè)線程睡眠 4s，2s，3s，5s，9s。這些線程睡醒之后，就把自己對(duì)應(yīng)的數(shù)報(bào)出來(lái)即可。這樣等所有線程都醒來(lái)，排序就結(jié)束了。

但和作者提出的算法一樣，睡眠排序由于多線程的問(wèn)題，在真正實(shí)現(xiàn)上也有困難。

此外，這位網(wǎng)友也表示自己看到過(guò)這種算法：

我確定我此前看到過(guò)這種算法，它沒(méi)有名字嗎？

很快就有人提議說(shuō)——

如果它沒(méi)有名字的話，我建議稱之為“面試排序”。

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