0 引 言
    隨著信息時(shí)代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理已成為當(dāng)今一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。數(shù)字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達(dá)、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號處理應(yīng)用中，數(shù)字濾波器十分重要并已獲得廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。IIR濾波器的特征是具有無限持續(xù)時(shí)間的單位脈沖響應(yīng)；FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)只能延續(xù)一定時(shí)間，它由于可以很方便地實(shí)現(xiàn)線性相位特性和容易實(shí)現(xiàn)而在工程上得到廣泛應(yīng)用。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，如：窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、頻率采樣法、最優(yōu)設(shè)計(jì)法(雷米茲法)等。鑒于現(xiàn)有的文獻(xiàn)多數(shù)都是僅介紹設(shè)計(jì)思想和方法，沒有從實(shí)際應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)的角度來考慮多帶FIR濾波器的設(shè)計(jì)。
    FIR濾波器的濾波運(yùn)算，當(dāng)輸入序列是有限長時(shí)，用FFT快速卷積進(jìn)行計(jì)算只要進(jìn)行2次FFT，1次IFFT就可完成線性卷積(濾波)計(jì)算。對于無限長序列可以采用重疊相加法或者重疊保留法將它化為有限長序列卷積運(yùn)算。而H(k)如果可以在濾波器設(shè)計(jì)時(shí)直接獲得，則只要1次FFT，1次IFFT就可完成濾波運(yùn)算，因此稱為FIR濾波器FFT快速算法。下面討論FIR濾波器頻域直接計(jì)算H(k)的方法。

1 FIR濾波器的頻域設(shè)計(jì)
1．1 H(k)計(jì)算公式
    根據(jù)FIR濾波器頻域采樣法設(shè)計(jì)，如果濾波器的類型和階數(shù)N確定，可以在頻域上確定h(n)的N點(diǎn)FFT，用H1(k)表示。因此，有：

   

   
    可見，當(dāng)L為N的整數(shù)倍時(shí)只要通過對H1(k)內(nèi)插O，再進(jìn)行比例放大，就可得到H(k)。
    (2)假設(shè)濾波器具有線性相位特性，則H1(k)可用幅度函數(shù)和相位函數(shù)的采樣表示，記為：

   
    從上面分析可見，只要確定濾波器的階數(shù)N和H1(k)(H1k)就可計(jì)算出H(k)。下面討論其確定方法。
1．2 濾波器的階數(shù)和H1(k)確定方法
    在設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。數(shù)字濾波器常常被用來實(shí)現(xiàn)選頻操作，因此，指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)，并且對于FIR濾波器的設(shè)計(jì)，相位響應(yīng)指標(biāo)通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。確定了技術(shù)指標(biāo)后，就可以建立一個(gè)目標(biāo)的數(shù)字濾波器模型。確定濾波器的階數(shù)和H1(k)。
    下面以一個(gè)實(shí)際例子來說明計(jì)算過程。假設(shè)要設(shè)計(jì)一個(gè)多帶FIR線性相位數(shù)據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)為：對模擬信號進(jìn)行采樣的周期T=O.000 1 s，在fp=[1 000，2 000，3 000]Hz處的衰減小于2 dB，在fr=[1 250，1 750，3 250]Hz處的衰減大于40 dB。則：
    (1)濾波器的技術(shù)指標(biāo)
    濾波器的技術(shù)指標(biāo)如下：
    通帶截止頻率：

   
    (2)目標(biāo)濾波器的模型
    采用理想濾波器模型作為所要設(shè)計(jì)的目標(biāo)濾波器模型。根據(jù)指標(biāo)要求，選用如圖1所示的幅度模型。

    (3)確定濾波器的階數(shù)和H1(k)
    根據(jù)過渡帶的指標(biāo)要求，由理想濾波器模型的過渡帶為2π/N可以確定濾波器階數(shù)N=40。根據(jù)線性相位的約束條件，N為偶數(shù)，濾波器的幅度函數(shù)要求奇對稱，即H1k滿足：H1k=-Hl(N-k)。
    由邊界頻率：可求出邊界頻率采樣點(diǎn)kp=[4，8，12]。
    以理想濾波器為目標(biāo)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，則幅度函數(shù)采樣點(diǎn)為：

   
    (4)設(shè)計(jì)結(jié)果性能分析
    根據(jù)內(nèi)插公式可求出所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)。這里，直接利用Matlab編程分析得到的結(jié)果如圖2所示。

    由圖2可見，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶衰減僅達(dá)到16 dB，因此，必須進(jìn)行優(yōu)化。
1．3 優(yōu)化設(shè)計(jì)
1．3．1 簡易優(yōu)化設(shè)計(jì)法
    由內(nèi)插公式可知，頻率采樣濾波器的頻響在采樣點(diǎn)上等于采樣點(diǎn)的值，因此，在不增加階數(shù)的情況下，可通過修改邊界頻率點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)指標(biāo)要求：通帶衰減小于Ap=2 dB，阻帶衰減大于Ar=40 dB。將通帶和阻帶的邊界采樣點(diǎn)的值按式(10)，式(11)計(jì)算：

   
    根據(jù)式(10)，式(11)，將Ap，Ar代入，利用Matlab編程，相應(yīng)的語句如下：
   
    計(jì)算結(jié)果：Hp=0．794 3，Hr=0．010 O，優(yōu)化式(7)得到新的設(shè)計(jì)結(jié)果。進(jìn)行頻率特性分析得到如圖3所示的結(jié)果。由圖3可見，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶最小衰減已經(jīng)超過了20 dB，得到了明顯改善。

l.3．2 自適應(yīng)搜索優(yōu)化
    上述方法簡單但不是最優(yōu)，達(dá)到的性能指標(biāo)不高。下面利用自適應(yīng)搜索算法對過渡點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。自適應(yīng)搜索算法采用均方誤差最小準(zhǔn)則。對于具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器，其性能主要取決于幅度函數(shù)，因此定義誤差函數(shù)E(ω)為：
   
式中：Hd(ω)為設(shè)計(jì)的目標(biāo)濾波器的幅度函數(shù)；H(ω)為設(shè)計(jì)的濾波器的幅度函數(shù)，其表達(dá)式為：

   
    則均方誤差為：

式中：M為頻域采樣點(diǎn)數(shù)，應(yīng)盡量大，取
    設(shè)：Hi為過渡點(diǎn)，η為搜索步長。則可以導(dǎo)出該過渡點(diǎn)調(diào)整算法為：

   
可以證明，O<η<2／N時(shí)，該算法是收斂的。
    根據(jù)上述算法，利用Matlab編程對過渡點(diǎn)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，得到如圖4所示結(jié)果。

    由圖4可見，濾波器的邊界頻率符合要求，阻帶衰減超過40 dB，符合指標(biāo)要求，但是過渡帶增大。N增大一倍后，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖5所示，濾波器指標(biāo)滿足要求。

2 結(jié) 語
    FIR濾波器的FFT快速算法實(shí)現(xiàn)，只要一次的FFT和一次的IFFT就可以實(shí)現(xiàn)，在階數(shù)高的情況下，具有很高的運(yùn)算效率。采用在頻域上直接設(shè)計(jì)可以很方便地得到所需的濾波器的頻域系數(shù)。當(dāng)L為N的整數(shù)倍時(shí)，只要通過對H1(k)內(nèi)插0，再進(jìn)行比例放大，就可得到H(k)，因此，可以作為L，N選擇時(shí)參考。文中提出的根據(jù)所要設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)來確定邊界頻率點(diǎn)幅度取樣和自適應(yīng)搜索算法，可供教學(xué)和科研設(shè)計(jì)中進(jìn)行濾波器優(yōu)化時(shí)使用。