提出了一種基于計算機數(shù)值計算的復雜無源濾波器參數(shù)設計的新方法,首先把求解電路參數(shù)的問題數(shù)學化為性能指標優(yōu)化模型,然后采用遺傳算法求得特性符合要求的電路參數(shù)值,數(shù)值實驗表明了此方法的有效性。

    關鍵詞：無源濾波器 參數(shù)優(yōu)化設計 遺傳算法

    無源濾波器在電子技術領域有著廣泛的應用。針對某一應用的復雜無源濾波器,往往結構容易確定,參數(shù)調(diào)整卻十分困難。其原因是：結構中的組成元件?電阻、電容、電感?個數(shù)較多,頻率特性與元件參數(shù)的關系是一個高階的非線性函數(shù),相互間對頻率特性的影響存在著高度的耦合,因而欲達到頻率特性優(yōu)良的設計目的,無論采用實驗手段還是常規(guī)數(shù)學手段,都需花費大量的時間與精力。

    近年來,模擬生物進化過程的遺傳算法作為求解優(yōu)化問題的有效手法而倍受關注。正如Ｔｈｏｍａｓ Ｂａｃｋ等人指出?１?,同其他手法相比,其優(yōu)點在于：處理問題的靈活性、適應性、魯棒性,能取得全局解,對模型要求低,針對不同問題設計的不同遺傳算法,不僅能提高現(xiàn)有解的優(yōu)化品質(zhì),還能攻克某些難度大的優(yōu)化問題。

    本文以遺傳算法的應用為出發(fā)點,提出了一種新的無源濾波器參數(shù)設計方法。它能有效克服上述無源濾波器參數(shù)設計的困難,十分方便地取得滿足性能指標要求的參數(shù)設計值。

１ 優(yōu)化模型的建立

    典型的無源濾波器電路組成元件一般按Ｔ型結構連接,如圖１所示。濾波器的頻率特性可以用功率傳輸函數(shù)來定義,即：





    其中,Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ],為電路的元件參數(shù)值矩陣,ｎ為元件總個數(shù),Ｗ為頻率。若Ｘ已知,頻率采樣點Ｗｉ對應的頻率特性Ｌｉ可按下述方法計算：

設 Ｉ１＝ＩＬ＝０．１,

    Ｖ１＝ＩＬＲＬ＋０＝ＶＬ

    Ｉ２＝Ｖ１Ｙ１＋ＩＬ

    Ｖ３＝Ｉ２Ｚ２＋Ｖ１

    Ｖ２ｎ＋１＝Ｉ２ｎＺ２ｎ＋Ｖ２ｎ－１

    Ｉ２ｎ＋２＝Ｖ２ｎ＋１Ｙ２ｎ＋１＋Ｉ２ｎ

    Ｅｓ＝ＲｓＩ２ｎ＋２＋Ｖ２ｎ＋１

    用簡易的迭代程序求得Ｅｓ,代入式(１)即可求得Ｌｉ。

    濾波器的結構已知后,先確定結構中的參數(shù)取值范圍,選擇的條件可以比較寬松,然后按預期的性能指標要求,選定適當個頻率采樣點Ｗ１,Ｗ２,．．．,規(guī)定其對應功率傳輸函數(shù)幅度界限值,迫使它調(diào)整后經(jīng)過采樣點時,滿足幅度界限要求（大于、小于或介于）。由此獲得的新設計參數(shù)Ｘ*即是滿足預期性能指標的設計值。為求得Ｘ*,建立如下優(yōu)化模型：



    其中,Ｘ的定義同前,Ｔ＝[Ｔ１,Ｔ２,．．．]為幅度界限值矩陣,Ｓ＝[Ｓ１,Ｓ２,．．．]為加權系數(shù)矩陣,Ｕ＝[Ｕ１,Ｕ２,．．．]為裕度矩陣,ＸＬ、ＸＵ分別為設計參數(shù)的上下界限矩陣。ｐ為偶次方,ｍ為采樣點總數(shù),Ｒｉ稱為余差,具體表達式為：

    下界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（＋[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

    上界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（－[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

    顯然,當存在解Ｘ使Ｆ函數(shù)最小時,Ｌｉ的值應能控制在Ｔｉ的要求范圍內(nèi),從而使頻率特性滿足指標要求,因此該解即可視為Ｘ*。

２ 優(yōu)化模型的求解

    遺傳算法是一個強有力的求優(yōu)算法,它首先隨機地產(chǎn)生一組潛在的解Ｘ（該解稱為“染色體”,解的特定集合稱為“人口”,解中的變量稱為“基因”）,然后采用生物進化的過程（如染色體交叉?變異?淘汰等）不斷提高解的品質(zhì),最后獲得最優(yōu)解。遺傳算法有兩個重要控制參數(shù)——交叉率Ｐｃ和變異率Ｐｍ對算法的收斂速度有較大影響,文獻[３]采用確定不變的Ｐｃ和Ｐｍ?而本文采用隨世代數(shù)增加而不斷自動調(diào)整的Ｐｃ和Ｐｍ。這樣做的目的在于：在進化的初期,人口的差異一般較大,交叉率大和變異率小有助于加快收斂,而在進化的后期,交叉率小和變異率大有助防止過早陷入局部最優(yōu)點。公式如下：

    Ｐｃ(ｇｅｎ)＝Ｐｃ(ｇｅｎ－１)－[Ｐｃ（０）－０．３]／ＭＡＸＧＥＮ

    Ｐｍ（ｇｅｎ）＝Ｐｍ（ｇｅｎ－１）＋[０．３－Ｐｍ（０）／ＭＡＸＧＥＮ

    其中,ｇｅｎ表示世代數(shù),ＭＡＸＧＥＮ表示最大世代數(shù),具體算法如下：

第１步,全局參數(shù)設定

給出ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ（人口數(shù)）、Ｐｃ（０）、Ｐｍ（０）、ＭＡＸＧＥＮ和設計次數(shù)ｄｃｎｔ的大小或范圍。

第２步,人口的產(chǎn)生及初使化

設世代數(shù)ｇｅｎ＝１。以設計參數(shù)為變量,組成矩陣Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ]。第一代人口由ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個染色體構成,每個染色體的基因（即設計參數(shù)）在參數(shù)各自取值范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生。

第３步,染色體評價

為了評價代世代中染色體Ｘ的優(yōu)劣,建立染色體適應性評價函數(shù)ｅｖａｌ（Ｘ）：

ｅｖａｌ（Ｘ）＝｛F（X,T,S,U）;當X滿足約束條件    M,M為一大正數(shù);當X不滿足約束條件

對本問題,評價函數(shù)越小越好。[!--empirenews.page--]

第４步,基因操作

    通?；虿僮饔薪徊妗⒆儺?、選擇三種(２)。

    基因交叉：設交叉計數(shù)器ｃｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)ｒｋ（ｋ＝１,２,．．．,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ）,如果ｒｋ＜Ｐｃ（ｇｅｎ）,則選擇Ｘｋ為交叉用;使交叉染色體配對進行如下位交叉操作：

Ｘｊ＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ]?     Ｘｊ′＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,?．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ? 


Ｘｌ＝[Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ]      Ｘｌ′＝[Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ]

    其中Ｘｊ、Ｘｌ為配對染色體,Ｘｊ′、Ｘｌ′為交叉后染色體。ｐ為隨機選擇的交插位,接受交叉操作的染色體個數(shù)記入ｃｃｎｔ中。

    基因變異：設變異計數(shù)器ｍｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)ｒｋ(ｋ＝１,?２,．．．,ｎ×ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＋ｎ×ｃｃｎｔ),如果ｒｋ＜Ｐｍ(ｇｅｎ),則第ｋ個基因進行變異操作,并使ｍｃｎｔ＝ｍｃｎｔ＋１。新基因Ｘｋ′隨機產(chǎn)生于區(qū)間[(１－α)Ｘｋ,(１＋α)Ｘｋ];其中１≤ｉ≤ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ,α為[０,１]范圍內(nèi)選定常數(shù)。

    染色體選擇：計算新生染色體Ｘｎ′的評價函數(shù)ｅｖａｌ(Ｘｎ′)(ｎ＝１,２,．．．,ｃｃｎｔ＋ｍｃｎｔ?和父代染色體Ｘｎ的評價函數(shù)ｅｖａｌ?Ｘｎ??ｎ＝１?２?．．．?ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ?,并按適應性大小排列,選出其中適應性最強的ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個染色體構成新一代人口并保留上述過程中最佳染色體Ｖ*,這個過程稱為“適者生存”選擇。

第５步,單次過程結束判斷

    當Ｆ＜Ｅｒ時(Ｅｒ為一小數(shù)量級數(shù)值?,Ｘ*＝Ｖ*,輸出Ｘ*,轉(zhuǎn)第６步。

    當Ｆ≤Ｅｒ且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時,ｇｅｎ＝ｇｅｎ＋１,返回第３步。

    當Ｆ≥Ｅｒ時且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時,返回第２步。

第６步,全過程結束判斷

    ｄｃｎｔ＝ｄｃｎｔ－１;當ｄｃｎｔ＞０時,返回第２步;否則,停機。

３ 數(shù)值實驗例

    圖２為一帶通無源濾波器電路結構,通頻帶要求在９５０～１０５０ ｒａｄ／ｓ之間。為此,每隔５ ｒａｄ／ｓ作一次采樣,采樣點的幅度大于０．８５;設定低頻截止頻率為８００ ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５;高頻截止頻率為１３００ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５。建立如下優(yōu)化模型：



ｓ．ｔ． ＸＬ＝[０,０,．．．,０]＜Ｘ＜ＸＵ＝[１８,１８,．．．,１８]?

其中

    Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘ１９]＝[Ｌ,Ｃ３,Ｃ４,Ｌ６,Ｌ７,Ｃ７,Ｌ９,Ｌ１０,Ｃ１２,Ｌ１３,Ｃ１３,Ｌ１５,Ｌ１６,Ｃ１８,Ｌ１９,Ｃ１９,Ｌ２１,Ｌ２２,Ｃ２４];

    Ｒ１＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ１]－０．０,０）,對應Ｗ１＝８００ｒａｄ／ｓ

    Ｒｊ＝１．０×Ｍｉｎ(＋[Ｌｊ－０．８５]－０．０５,０);ｊ＝２,３,?．．．,２２,對應Ｗｊ＝(５×ｊ＋９４０)ｒａｄ／ｓ

    Ｒ２３＝１０×Ｍｉｎ(＋[１．０ｅ－５－Ｌ２３]－０．０,０）,對應Ｗ２３＝１３００ｒａｄ／ｓ

    在ＮＥＣ４８００／２１０Ⅱ工作站完成上述算法。算法的參數(shù)設置為Ｅｒ＝１ｅ－６,α＝０．１,Ｐｃ＝Ｐｃ(０)＝０．６,Ｐｍ(０)＝０．１,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＝４０,ＭＡＸＧＥＮ＝２０００,程序語言為ＵＮＩＸ－Ｃ。ｄｃｎｔ?。保?得到１０組設計值,皆能使頻率特性滿足要求。平均世代數(shù)為１５０８代,平均時間為９．８ｍｉｎ。其中一組結果為:

    Ｘ*＝[０．０７９２?１２．６５１４?０．０７５２?１３．０１５７?０．１０５８?３．３１３１?
０．１７９３?１３．３３８６?０．０７２６?０．１３３４?３．３２６?０．１７２２?１５．１２１８?０．０６３３?０．０８７６?１．９２８８?０．３３３３?１０．３１７１?０．０９００]。

    按此參數(shù)設計后,濾波器頻率特性較好地達到了預期要求,如圖３所示。

    本文簡要分析了無源濾波器參數(shù)設計存在困難的主要原因。對無源濾波器的常用電路結構,提出了計算頻率特性的簡易迭代法,并將求解滿足指標要求的參數(shù)設計值的問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型的求解過程,使的原來難以描述和解決的設計問題變得明確和簡單。

    在遺傳算法方面,我們并不照搬前人的方法[３],例如,把最小目標函數(shù)的求解要求轉(zhuǎn)化為進化的驅(qū)動力而不是刻意求得最優(yōu)解,不僅減少了計算時間,還可提供設計者多種可選擇的方案。在遺傳算法的變異階段,采用的是以現(xiàn)有的基因為中心的左右變異方法,有別于常用的在變量范圍內(nèi)變異的方法。因本法中心不斷靈活飄移,求解過程出現(xiàn)兩個極端,即快速找到合適解或走入死區(qū)——永遠找不到解。我們通過設定最大世代數(shù)消除了后者的可能性,總體上提高了效率。
本法有效地克服了無源濾波器參數(shù)設計的困難,具有普遍性的價值和意義。其基本思想及原理亦可在電氣、電子、自動化等較復雜系統(tǒng)的參數(shù)設計領域得到廣泛的應用。